ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕКСТИЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени А.Н. КОСЫГИНА»

Учебно-методический комплекс по

направлению 200500 «Метрология, стандартизация и сертификация»

А.В. Курденкова, Ю.С. Шустов

ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Москва 2011

УДК 677.486.017

А.В. Курденкова, Ю.С. Шустов ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА. Конспект лекций. – М.: РИО МГТУ им. А.Н. Косыгина

Конспект лекций «Планирование и организация эксперимента» предназначены для студентов, обучающихся по 200500 «Метрология, стандартизация и сертификация»

 

 

Авторы: Шустов Ю.С.

Курденкова А.В.

Рецензент: к.т.н., доц. Федорова Е.Ф.

 

Содержание

 

Введение
1. Основные понятия и определения
2. Представление результатов экспериментов
3. Разложение функции отклика в степенной ряд, кодирование факторов
4. Однофакторный факторный эксперимент
4.1. Регрессионный анализ
4.2. Метод наименьших квадратов
4.3. Регрессионные модели первого и второго порядка
4.4. Построение графиков
4.5. Линейная функция
4.6. Логарифмическая, степенная и экспоненциальная функции
4.7. Полиномиальная функция
4.8. Проверка адекватности модели
4.9. Проверка значимости параметров модели
4.10. Некоторые нелинейные модели, сводящиеся к линейным
4.11. Множественная линейная регрессия
4.12. Регрессия в программе Excel
4.13. Корреляционный анализ
5. Полный факторный эксперимент
5.1. Выбор факторов
5.2. Матричные преобразования при обработке результатов эксперимента
5.3. Ортогональное планирование эксперимента
5.4. Планы полного факторного эксперимента 2n (планы ПФЭ 2n)
5.5. Планы дробного факторного эксперимента (планы ДФЭ)
5.6. Насыщенные планы первого порядка
5.7. Планы второго порядка
5.7.1. Ортогональный центрально-композиционный план второго порядка
5.7.2. Планы второго порядка с единичной областью планирования
5.8. Рототабельные планы
5.8.1. Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план
5.8.2. Рототабельный план на основе правильного многоугольника при n=2
5.9. Планы для описания поверхности отклика
5.9.1. Композиционные планы
5.9.2. Композиционные планы типа Вn
5.9. Планы для оценки влияния факторов. Планы на латинских квадратах
5.10. Планы для экспериментирования в условиях дрейфа
6. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта
7. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена
8. Дисперсионный анализ
9. Проверка значимости оценок коэффициентов модели
10. Проверка адекватности модели
ПРИЛОЖЕНИЕ. ГОСТ

 

 

Введение

 

Исследование является экспериментом, если входные переменные изменяются исследователем в точно учитываемых условиях, позволяя управлять ходом опытов и воссоздавать их результаты каждый раз при повторении с точностью до случайных ошибок.

Планирование и анализ эксперимента представляет собой важную ветвь статистических методов, разработанную для решения разнообразных задач, возникающих перед исследователями. В одном случае необходимо обнаружить и проверить причинную связь между входными переменными (факторами) и выходными переменными (откликами), в другом – отыскать оптимальные условия ведения процесса или сравнить изучаемые объекты и т.д.

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Все переменные, определяющие изучаемый объект, изменяются одновременно по специальным правилам. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели, обладающей определенными статистическими свойствами, например минимальной дисперсией оценок параметров модели.

Для экспериментаторов, которые не занимаются планированием многофакторного эксперимента, наиболее привычным методом исследования является однофакторный эксперимент. Он заключается в том, что варьируется один фактор на нескольких уровнях, а все другие факторы поддерживаются постоянными. В этом случае можно получить количественную оценку эффекта только одного фактора.

Влияние других факторов оценить нельзя. Выводы о влиянии изучаемого фактора могут существенно различаться в зависимости от уровня фиксирования прочих факторов. Это часто приводит к ошибочным рекомендациям. Лишь в тех случаях, когда отклик является функцией одного фактора, однофакторный эксперимент вполне закономерен.

Однако на практике приходится иметь дело с многофакторными объектами, где однофакторный эксперимент неэффективен.

В многофакторных планах одновременно варьируется несколько факторов, а не каждый в отдельности.

План должен быть составлен так, чтобы при статистической обработке имелась возможность хорошо проанализировать эксперимент: проверить: существуют ли эффекты изучаемых факторов, определить величину этих эффектов, найти наименьший значимый эффект и т.д. Оценки эффектов факторов можно считать достоверными только тогда, когда ни неоднородность экспериментальных единиц, ни другие неучтенные факторы не в состоянии привести к полученному результату.

В планировании эксперимента сам эксперимент рассматривается как объект исследования и оптимизации. Здесь осуществляется оптимальное управление ведением эксперимента, в зависимости от характера изучаемого объекта и целей исследования обоснованно выбираются тип планирование эксперимента, метод обработки данных. К различным типам эксперимента относятся: экстремальный, отсеивающий, сравнительный, описательный и другие виды.

Цель планирования эксперимента – извлечение максимума информации при заданных затратах на эксперимент либо минимизация затрат при получении информации, достаточной для решения задач. Планирование эксперимента позволяет соразмерить число опытов поставленной задаче.

 

Основные понятия и определения

 

Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент.

Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение.

В соответствии с ГОСТ 24026-80 «Исследовательские испытания планирование эксперимента. Термины и определения»

Опыт – это отдельная экспериментальная часть.

План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Все переменные, определяющие изучаемый объект, изменяются одновременно по специальным правилам. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели

Одной из главных задач эксперимента является получение и проверка математической модели объекта, описывающей в количественной форме взаимосвязи между входными и выходными параметрами объекта. Входные параметры, которые могут быть изменены, называют факторами. Для каждого фактора до измерения устанавливается область определения, которая может быть непрерывной и дискретной. Часто непрерывная область определения искусственно дискретизируется. В теории планирования эксперимента объект исследований принято представлять в виде «черного ящика», а его математическая модель описывает функциональные связи между входными и выходными параметрами. Главными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям объектов являются удобство математического использования и интерпретируемость модели. Кроме того, всегда должны быть обозначены пределы применимости модели.

Эксперимент может быть пассивным и активным.

При пассивном эксперименте информация об исследуемом объекте накапливается путем пассивного наблюдения, то есть информацию получают в условиях обычного функционирования объекта.

При пассивном эксперименте существуют только факторы в виде входных контролируемых, но неуправляемых переменных, и экспериментатор находится в положении пассивного наблюдателя. Задача планирования в этом случае сводится к оптимальной организации сбора информации и решению таких вопросов, как выбор количества и частоты измерений, выбор метода обработки результатов измерений.

Наиболее часто целью пассивного эксперимента является построение математической модели объекта, которая может рассматриваться либо как хорошо, либо как плохо организованный объект.

При активном эксперименте экспериментатор может влиять на факторы, которые должны быть управляемыми и независимыми.

Активный эксперимент предполагает возможность воздействия на ход процесса и выбора в каждом опыте уровней факторов. При планировании активного эксперимента решается задача рационального выбора факторов, существенно влияющих на объект исследования, и определения соответствующего числа проводимых опытов. Увеличение числа включенных в рассмотрение факторов приводит к резкому возрастанию числа опытов, уменьшение - к существенному увеличению погрешности опыта. Фактор считается заданным только тогда, когда при его выборе указывается его область определения – совокупность значений, которые может принимать данный фактор. В эксперименте используется ограниченная часть области определения. Выбранные факторы должны быть однозначно управляемыми и поддающимися регулированию с поддержанием на заданном уровне в течение всего опыта при соблюдении последовательности необходимых для этого действий. Должна быть назначена также точность измерения факторов в выбранном диапазоне измерения.

В настоящее время активный эксперимент проводят по специальным планам (программам). Планирование эксперимента – это постановка опытов по некоторой заранее составленной схеме, обладающей какими-то оптимальными свойствами.

План активного эксперимента включает:

· Цель и задачи эксперимента;

· Выбор варьируемых факторов;

· Основание объема эксперимента, числа опытов;

· Порядок реализации опытов;

· Определение последовательности изменения факторов;

· Обоснование средств измерений;

· Описание проведения эксперимента;

· Обоснование способов обработки и анализа результатов эксперимента.

 

Совокупности факторов должны отвечать требованиям совместимости и независимости. Соблюдение первого требования означает, что все комбинации факторов осуществимы и безопасны, второго - возможность установления фактора на любом уровне независимо от уровней других факторов.

Планирование эксперимента состоит в выборе числа и условий проведения опытов, позволяющих получить необходимые знания об объекте исследования с требуемой точностью. Важнейшим условием научно поставленного эксперимента является минимизация общего числа опытов и затрат материальных, трудовых, временных ресурсов, что не должно существенно отражаться на качестве полученной информации. Планирование эксперимента предполагает не только оптимизацию числа измерений, но и уменьшение экспериментальных погрешностей.

При планировании эксперимента существует несколько этапов:

1. Выбор входных и выходных переменных. Входные переменные являются влияющими факторами. Выходная переменная - это реакция объекта на входные воздействия. Она является функцией отклика.

2. Выбор области эксперимента. Границы этой области по каждому фактору являются минимальным и максимальным его значением.

3. Обработка результатов испытаний: определение сводных характеристик, проверка анормальности, выбор закона распределения.

4. Проверка воспроизводимости опыта (например, по критерию Кочрена или критерию Бартлета).

3. Выбор математической модели объекта.

4. Составление плана эксперимента. То есть определяют какое значение должен принимать каждый из факторов, входящих в модель.

5. Обработка результатов планирования эксперимента. Оценка значимости коэффициентов модели. Проверка адекватности полученной модели (например, по критерию Фишера). Определение доверительных интервалов значений выходного фактора.

Существуют три вида планирования эксперимента: однофакторное и многофакторное (факторное) и полное факторное.

Различные виды экспериментов схематично представлены на рис.1.

 

Рис. 1

В однофакторном планировании влияние входных параметров (факторов) на выходной параметр изучается постепенно, причем в каждой серии опытов ме­няется уровень лишь одного фактора, а все остальные оста­ются неизменными. Аналитическая зависимость между этими параметрами вследствие случайного характера возмущающих воздействий рассматривается в виде зависимости среднего значения от значения , носящей название регрессионной. Целью однофакторного эксперимента является построение регрессионной модели - установление зависимости у=f(x).

Многофакторным планированием эксперимента называется такое,при котором одновременно варьируются все факторы. Оно обеспечивает достаточную точность эксперимента при меньшем числе опытов. В математической модели, полу­чаемой на основе эксперимента с факторным планирова­нием, каждый коэффициент определяется по результатам всех N опытов.

Полный факторный эксперимент предполагает возможность управлять объектом по одному или нескольким независимым каналам.

В схеме используются следующие группы параметров:

1. управляющие (входные )

2. параметры состояния (выходные )

3. возмущающие воздействия ()

При многофакторном и полном факторном эксперименте выходных параметров может быть несколько.

Основные свойства входных и выходных факторов:

1. Входной фактор должен быть управляемым, т. е. таким, чтобы его значение можно было изменять и поддерживать на постоянном уровне. Планирование активного эксперимента можно осуществить только при условии возможности изменения значений входящих факторов. Кроме того, факторы должны быть однозначными с высокой точностью измерения, независимыми и совместимыми. Это означает, что они не должны быть функциями других факторов, должна существовать возможность установления фактора на выбранных уровнях независимо от уровня других факторов все комбинации их уровней должны давать осуществимые дни объекта режимы.

2. Выходной фактор должен быть легко определяемым или рассчитываемым и иметь единственную числовую оценку с учетом ошибки его определения.

Факторы (управляющие) могут принимать определение значения, которые называют уровнями варьирования факторов.

Сочетание определенных уровней всех факторов определяет возможных состояний объекта. Чем больше совокупность всех возможных различных состояний черного ящика, тем он сложнее, тем труднее решать задачи, связанные с его изучение как объекта исследований.

Матрица планирования эксперимента представляет собой таблицу, в которой указаны значения уровней факторов в различных сериях опытов. Число опытов определяется задачами исследования и методами планирования эксперимента.

Факторный анализ может быть качественным и количественным. На стадии качественного анализа отбираются наиболее важные факторы, качественно связанные с изучаемым вопросом, значения которых можно определить. На стадии количественного анализа с использованием специальных математических критериев отбираются факторы, влияние которых на исследуемый процесс или явление существенно.

Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:

· планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;

· планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;

· планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);

· планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;

· планирование при изучении динамических процессов и т.д.

Факторы

 

После того как выбран объект исследования и пара­метр оптимизации, нужно включить в рассмотрение все существенные факторы, которые могут влиять на процесс. Если какой-либо существенный фактор окажется неуч­тенным, то это может привести к неприятным послед­ствиям. Так, если неучтенный фактор произвольно флу­ктуировал – принимал случайные значения, которые эк­спериментатор не контролировал, – это значительно уве­личит ошибку опыта. При поддержании фактора на некотором фиксированном уровне может быть получено ложное представление об оптимуме, так как нет гарантии, что фиксированный уровень является оп­тимальным.

Определение фактора

Также, как и параметр оптимизации, каждый фактор имеет область определения. Мы будем считать фактор заданным, если вместе с его названием указана… Область определения может быть непрерывной и дис­кретной. Однако в тех задачах… В практических задачах области определения факторов, как правило, ограничены. Ограничения могут носить принципиальный…

Требования, предъявляемые к факторам при планировании эксперимента

Чтобы точно определить фактор, нужно указать последовательность действий (операций), с помощью ко­торых устанавливаются его конкретные значения… Точность замера факторов должна быть возможно более высокой. Степень точности… Факторы должны быть непосредственными воздейст­виями на объект. Факторы должны быть однозначны. Трудно управлять…

Требования к совокупности факторов

Несовместимость факторов может наблюдаться на гра­ницах областей их определения. Избавиться от нее можно сокращением областей. Положение… При планировании эксперимента важна независи­мость факторов, т. е. возможность…

Представление результатов экспериментов

Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х1, Х2, …, Хn называется поверхностью отклика (рис. 2). Рис. 2. Поверхность отклика

Разложение функции отклика в степенной ряд, кодирование

Факторов

Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например в степенной ряд… Разложение в степенной ряд функции возможно в том случае, если сама функция является непрерывной и гладкой. На…

Однофакторный факторный эксперимент

Чтобы исключить влияние неуправляемых факторов, им придают среднее значение или рандомизируют, т. е. делают случайными. Рандомизация усредняет по… Планирование однофакторного эксперимента в основном сводится к выбору числа… Вид функции отклика (линейная, степенная, логарифмическая и т. д.) или математическую модель объекта исследовании…

Метод определения тождественности разделенных и неразделенных разностей

Если в результате эксперимента получены следующие пары значений , то разделенными разностями первого порядка называются величины

и неразделенными разностями первого порядка – величины

Неразделенные разности первого порядка используют, когда интервал варьирования факторов постоянный.

Сравнивают между собой неразделенные разности. Если разница между ними не превышает удвоенной величины среднеквадратической ошибки эксперимента, то можно считать их тождественными и принять для описания экспериментальных данных линейное уравнение.

 

Вид функции отклика (линейная, степенная, логарифмическая и т.д.) или математическую модель объекта исследования устанавливают, исходя из физических представлений о самом объекте или на основе опыта предыдущих исследований.

При отсутствии таких сведений функцию отклика представляют в виде полинома. В простейшем случае выбирают полином первого порядка

,

где d₀ и d₁ – коэффициенты регрессии; - среднее значение входного фактора.

Значение d₀ показывает, в какой точке линия регрессии пересекает ось ординат. Физический смысл коэффициента d₁ заключается в том, что он показывает, на какую величину изменяется переменная Y при изменении X на единицу.

Если закон случайных величин не является нормальным, то регрессионная математическая модель в общем случае будет линейной.

Для того чтобы решить данное уравнение, необходимо подобрать так коэффициенты регрессии d₀ и d₁, чтобы обеспечить минимум ошибки аппроксимации экспериментальных данных. Общепринятым при решении подобных задач является метод наименьших квадратов (МНК), разработанный К. Гауссом (1809 г.) и А. Марковым (1900 г.).

· Значения величин ошибок и факторов независимы, а значит, и некоррелированы;

· Математическое ожидание ошибки ε должно быть равно нулю (постоянная составляющая входит в коэффициент d₀), иначе говоря, ошибка является центрированной величиной;

· Выборочная оценка дисперсии ошибки должна быть минимальна.

Физический смысл данного метода заключается в том, что требование наилучшего согласования теоретической (выравнивающей, сглаживающей, аппроксимирующей) кривой и экспериментальных точек сводится к тому, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от теоретической кривой была минимальной, т.е.

По МНК параметры d_o и d₁ модели определяются из следующих уравнений:

Где X_i, Y_i – результаты эксперимента; - среднее значение функции.

После получения математической модели проверяют ее адекватность, т.е. соответствие реальному процессу, и значимость вычисленных коэффициентов регрессии. Если уравнение регрессии не адекватно, переходят к более сложной модели.

Регрессионный анализ

При решении многих инженерных задач возникает необходи­мость в установлении связи между k независимыми переменными х1, x2, ..., xk и зависящей от… 1. Функциональная связь между неслучайными величинами. В этом случае зависимая… 2. Функциональная связь между случайными величинами.

Последовательность проведения регрессионного анализа

 Формулировка задачи.

 Идентификация переменных (определение входных и выходных переменных).

 Сбор статистических данных.

 Спецификация функции регрессии (определение вида модели).

 Оценивание параметров функции регрессии.

 Оценка точности регрессионного анализа:

1) Проверка адекватности всей модели, т.е. согласуются ли предсказанные значения выходной величины с наблюдаемыми данными;

2) Проверка значимости параметров модели, т.е. значимо ли они отличаются от нуля или нет.

 Интерполяция результатов, анализ, оптимизация и прогнозирование.

 

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается… Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например,… Для регрессионной модели первого порядка функция имеет вид:

Регрессионные модели первого и второго порядка

При обработке экспериментальных данных одной из важных задач является задача определения вида функциональной зависимости, наилучшим образом… В общем случае различают два вида уравнений регрессии (эмпирических моделей) —… Для набора нелинейных эмпирических функций в настоящее время существуют два основных метода:

Построение графиков

Как правило, построение графика начинают с выделения диапазона, содержащего данные, по которым он должен быть построен. Такое начало упрощает…  

Построение линий тренда

Рис. 5. ДОБАВИТЬ ЛИНИЮ ТРЕНДА  

Линейная функция

  φ y    

Логарифмическая, степенная и экспоненциальная функции

Экспоненциальная функция y=a.ebx где a и b – расчетные коэффициенты,

Полиномиальная функция

Полиномиальная функция 2 порядка у=а1.х2+а2.х+а3 где а1, а2, а3 – расчетные коэффициенты.

Проверка адекватности модели

1) Остаточную сумму квадратов, характеризующую отклонение от регрессии 2) Сумму квадратов, обусловленную регрессией

Проверка значимости параметров модели и ее адекватности

В результате проверки устанавливается статистическая значимость или незначимость отличия от нуля оценок параметров регрессии. Это проверка… , ,

Некоторые нелинейные модели, сводящиеся к линейным

Где – заранее неизвестная функция, подлежащая определению; - ошибка… Наиболее простым решением поиска функциональной зависимости является линейный полином вида

Полиномиальная модель

Если в результате эксперимента получены следующие пары значений , то разделенными разностями первого порядка называются величины и неразделенными разностями первого порядка – величины

Множественная линейная регрессия

где - зависимая переменная (результативный признак); - независимые переменные (факторы).

Регрессия в программе Excel

Статистическая обработка данных может также проводиться с помощью надстройки Пакет анализа в подпункте меню «Сервис». В программе Excel 2003, если…  

Корреляционный анализ

Допустим, проводится независимое измерение различных параметров у одного типа объектов. Из этих данных можно получить качественно новую информацию -… Есть массив из n точек {x1,i, x2,i} Рассчитываются средние значения для каждого параметра:

Полный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент – эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней исследуемых факторов. В результате ПФЭ… Факторный анализ широко применяется в настоящее время как в естественных… Факторный анализ может быть качественным и количественным. На стадии качественного анализа отбираются наиболее важные…

Этапы получения регрессионной многофакторной математической модели (РМФМ).

Определение РМФМ на базе ПФЭ включает следующие этапы:

1. Проведение предварительного эксперимента.

2. Планирование ПФЭ.

3. Создание условий для проведения ПФЭ.

4. Проведение основного эксперимента по матрицам планирования эксперимента.

5. Обработка результатов эксперимента.

6. Анализ полученной модели.

 

Предварительный эксперимент.

Предварительный эксперимент проводится с целью определения точности измерения выходного параметра и доверительного объема его измерений и проверки гипотезы о нормальности распределения случайных величин .

 

Планирование ПФЭ.

Планирование эксперимента – очень важный этап в проведении факторного анализа, поскольку этим, по сути, ограничивается класс регрессионных моделей,… Регрессионная многофакторная математическая модель чаще всего представляется в… • линейного полинома

Выбор факторов

1) фактор должен быть регулируемым, т. е. с помощью опреде­ленного регулирующего устройства фактор можно изменять от зна­чения x1 до значения x2. … 2) точность измерения и управления факторов должна быть из­вестна и достаточно… К факторам и переменным состояния одновременно также предъ­является ряд требований:

Матричные преобразования при обработке результатов

Эксперимента

При матричной записи результатов различных N опытов для полиномиального представления результата будем иметь ; Х - матрица сочетаний факторов.

Ортогональное планирование эксперимента

Структура матрицы С играет важную роль в реализации алгоритма определения коэффициентов аппроксимирующего полинома. Структура матрицы С зависит от… Элемент Сii на главной диагонали матрицы С (i-тая строка, i-тый столбец)…

Планы второго порядка

Они позволяют сформировать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, который содержит большее число членов, чем неполный квадратичный… , при n = 3 - 11 членов

Ортогональный центрально-композиционный план

Второго порядка

Ортогональным планом называется такой план, у которого матрица планирования Х строится так, что бы матрица С=ХtХ оказалась диагональной. Используем… При ортогональных факторных планах каждый фактор варьируют симметрично… После интерпретации модели экспериментатор принимает решение о проведении дальнейших исследований. Для этого вначале…

Планы второго порядка с единичной областью планирования

Так как ОЦКП и РОЦКП - композиционные планы, то при естественной области планирования “звездные” точки могут выходить за пределы единичного… . Так при n=2,

Рототабельные планы

Рототабельные планы – это планы, у которых точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах). У рототабельного плана первого порядка… , где V=1,…, N - номер точки плана, i =1,…, n – номер фактора.

Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план

Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план (РОЦКП) строится аналогично рассмотренному ранее ОЦКП. К использованному в качестве ядра… Радиус сферы, на которой лежат точки плана ПФЭ 2n при двух уровнях…

Рототабельный план на основе правильного многоугольника при n=2

Константа преобразования элементов столбцов, соответствующих квадратам факторов, для всех подобных планов составляет . Смотри, например, для столбцы i= 1 или 2 приведенного плана.

Планы для описания поверхности отклика

Композиционные планы

. эффектов: , j>i. (5.1)

Планы для экспериментирования в условиях дрейфа

Планы, ортогональные к непрерывному дрейфу, могут быть построены на основе таблиц полиномов Чебышева. Они исполь­зуются для изучения линейных… Комбинированные планы для совместного изучения коли­чественных и качественных… Планы для экспериментирования в условиях дрейфа исполь­зуются для исключения влияния неоднородностей типа дискрет­ного…

Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта.

Введем обозначения ki=ni-1 – число степеней свободы дисперсии S2i/ - сумма чисел степеней свободы

Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена.

Н₀: D(X₁)=D(X₂) =D(X₃)=… =D(X_l)

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем критерий Кочрена – отношение максимальной исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий.

Распределение этой случайной величины зависит только от числа степеней свободы k=n-1 и количества выборок l. Для проверки нулевой гипотезы строят правостороннюю критическую область. G(α;k;l)

Если G_набл<G_кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если G_набл>G_кр –отвергаем нулевую гипотезу.

Дисперсионный анализ

Законы распределения можно сопоставить на основе критерия Вилкоксона при нулевой гипотезе Н0 о равенстве законов распределения двух случайных… Fx<Fy или Fx>Fy. В этих случаях критическая область является односторонней. Поэтому нижнюю критическую точку и квантиль распределения…

Однофакторный дисперсионный анализ

Рис. 41 Входной интервал Введите ссылку на диапазон, содержащий анализируемые данные. Ссылка должна состоять из двух или более…

Проверка значимости оценок коэффициентов модели

ti = (|βi| – 0)/ σ(βi) = |βi| / σ (βi). Критическое значение tкр=t(α; φ(y)) находится стандартным образом:… Часто в процессе проведения испытаний необходимо сравнить результаты двух независимых выборок с тем, чтобы оценить…

Проверка адекватности модели

Проверка адекватности математической модели данным эксперимента проводится только в случае ненасыщенного планирования на основе сопоставления… , N>m , где m – количество оцениваемых коэффициентов модели;

Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости p = 0.05

f₁ - число степеней свободы большей дисперсии, f₂ - число степеней свободы меньшей дисперсии

	f1
f2
	161.45	199.50	215.71	224.58	230.16	233.99	236.77	238.88	240.54	241.88	245.95
	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.35	19.37	19.38	19.40	19.43
	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.89	8.85	8.81	8.79	8.70
	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.86
	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.74	4.62
	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	3.94
	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.64	3.51
	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.35	3.22
	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	3.01
	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.98	2.85
	4.84	3.98	3.59	3.36	3.20	3.09	3.01	2.95	2.90	2.85	2.72
	4.75	3.89	3.49	3.26	3.11	3.00	2.91	2.85	2.80	2.75	2.62
	4.67	3.81	3.41	3.18	3.03	2.92	2.83	2.77	2.71	2.67	2.53
	4.60	3.74	3.34	3.11	2.96	2.85	2.76	2.70	2.65	2.60	2.46
	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.79	2.71	2.64	2.59	2.54	2.40
	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.66	2.59	2.54	2.49	2.35
	4.45	3.59	3.20	2.96	2.81	2.70	2.61	2.55	2.49	2.45	2.31
	4.41	3.55	3.16	2.93	2.77	2.66	2.58	2.51	2.46	2.41	2.27
	4.38	3.52	3.13	2.90	2.74	2.63	2.54	2.48	2.42	2.38	2.23
	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.51	2.45	2.39	2.35	2.20

 

Если вычисленное значение критерия меньше критического, то нет оснований для сомнений в адекватности модели. Однако положительный исход статистической проверки не гарантирует достоверной адекватности, а тем более истинности модели (хотя и не противоречит такому предположению). Когда гипотеза отклоняется, следует вывод о неадекватности модели, следовательно, она заведомо не является истинной. Дальнейшее применение неадекватной модели обычно нецелесообразно, и надо принять меры по ее совершенствованию.

Причиной неадекватности могут являться: ошибки в организации и проведении опытов, например неконтролируемое изменение неучтенных в модели факторов; погрешности в задании исходных данных и в измерении результатов; большой размах варьирования факторов и другие причины. Иначе говоря, анализ причин неадекватности требует серьезного изучения сущности исследуемого процесса и методов его исследования.

 

Литература