Эксперимента

 

При матричной записи результатов различных N опытов для полиномиального представления результата будем иметь

; Х - матрица сочетаний факторов.

N строк

m+1 столбец

Здесь 0,1, …,i,…, m – номера членов уравнения; 1,…,U,…,N … – номера опытов. Матрица Х - прямоугольная, содержащая m + 1 столбец и N строк.

Если учесть, что в матрице Х элементы , то матрицу Х можно записать

.

 

- матрица столбец результатов опыта , - матрица столбец коэффициента полинома

Домножим левую и правую часть этого уравнения на одну и туже матрицу X_t – транспонированную матрицу Х

.

Транспонированная матрица – это матрица, у которой по отношению к исходной столбцы и строки поменяны местами.

m+1 строка

N столбцов

матрица, получившаяся в результате произведения транспонированной матрицы на исходную. Она является квадратной матрицей, содержащей m +1 строку и m + 1 столбец.

Для того чтобы получить в общем виде матрицу-столбец коэффициентов В необходимо домножить обе части последнего матричного уравнения слева на матрицу С^-1 – матрицу обратную матрице С.

Обратная матрица строится так (используется процедура обращения матрицы), что при умножении ее на исходную матрицу получается единичная матрица – Е, у которой на главной диагонали расположены 1, а вне ее - 0.

Окончательно в общем виде матрица-столбец коэффициентов полинома

Рассмотрим в качестве простого примера полином в виде

формируемого по результатам N опытов.

 

; ; ; ;

;

;

;

или

Откуда решение системы относительно коэффициентов b₀ и b₁

,

.

Этот результат полностью совпадает с соотношениями для такого же полинома при использовании метода наименьших квадрантов, где используется численный показатель минимальности суммы квадрантов отклонений во всех N опытах. Следовательно, построенный таким образом полином будет проходить самым ближайшим образом к результатам эксперимента.