Однофакторный факторный эксперимент

В однофакторном планировании влияние входных параметров (факторов) на выходной параметр изучается постепенно, причем в серии опытов меняется уровень лишь одного фактора, а остальные остаются неизменными. Такой вид планирования применяется не часто, обычно для решения каких-то несложных задач. В процессе однофакторного эксперимента исследуемые факторы варьируют, а остальные оставляют на постоянном уровне.

Чтобы исключить влияние неуправляемых факторов, им придают среднее значение или рандомизируют, т. е. делают случайными. Рандомизация усредняет по всем опытам действие управляемых факторов. Наиболее простой способ рандомизации — случайная последовательность проведения всех о (определяется по таблицам случайных чисел или с помощью специальных операторов на ЭВМ).

Планирование однофакторного эксперимента в основном сводится к выбору числа уровней факторов и определению повторных опытов т на каждом уровне. Число повторений т может быть выбрано по таблицам на основе задания допустимой ошибки и доверительной вероятности.

Вид функции отклика (линейная, степенная, логарифмическая и т. д.) или математическую модель объекта исследовании устанавливают, исходя из физических представлений о самим объекте или на основе опыта предыдущих исследований.

При однофакторномпланировании влияние входных параметров (факторов) на выходной параметр изучается постепенно, причем в каждой серии опытов меняется уровень лишь одного фактора, а все остальные остаются неизменными. Такой вид планирования применяется не часто, обычно для решения каких-то несложных задач, а также если исследовать не знаком с методами многофакторного планирования. В процессе однофакторного эксперимента исследуемые факторы варьируют, а остальные поддерживают на постоянном уровне.

Чтобы исключить влияние неуправляемых факторов, им задают среднее значение или рандомизируют, т.е. делают случайными. Рандомизация усредняет по всем опытам действие неуправляемых факторов. Наиболее простой способ рандомизации – случайная последовательность проведения всех опытов.

Планирование однофакторного эксперимента в основном сводится к выбору числа уровней факторов и определению повторных опытом m на каждом уровне. Число повторений m может быть выбрано по таблицам на основе задания допустимой ошибки и доверительной вероятности.

При обработке экспериментальных данных одной из важных задач является задача определения вида функциональной зависимости, наилучшим образом описывающей экспериментальные данные. Это связано с тем, что изначально правильно подобранный вид адекватной математической модели освобождает исследователя от повторных вычислений и тем самым повышает эффективность исследовательской работы. Зачастую трудно решить, какую из моделей выбрать. В настоящее время эта проблема решается использованием ЭВМ и специального программного обеспечения, однако в определенных ситуациях требуется решить подобные задачи оперативно без применения ПК. Выбор модели, как правило, должен производиться с использованием результатов предыдущих исследований (если таковые имеются в наличии), а также на основании детального изучения физических закономерностей формирования изучаемого процесса или явления. В целях выбора функциональной связи заранее выдвигают гипотезу о том, к какому классу может принадлежать функция f, а затем подбирают «лучшую» функцию в этом классе. Выбранный класс функций должен обладать некоторой «гладкостью», т.е. «небольшие» изменения значений аргументов должны вызывать «небольшие» изменения значений функций.

В общем случае различают два вида уравнений регрессии (эмпирических моделей) – нелинейные, статистический анализ которых осуществляется методом «нелинейной регрессии», и линейные, статистический анализ которых проводится методом «линейной регрессии».

Для набора нелинейных эмпирических функций регрессии в настоящее время существуют два основных метода:

· линеаризация, т.е. приведение нелинейных функций к линейному виду с помощью специальных преобразований;

· аппроксимация исследуемых зависимостей многочленами (параболами).

Необходимо отметить, что не существует строгих математических методов, которые позволили бы «априори», т.е. до проведения регрессионного анализа, указать общий вид функции. Обычно на практике вид функции регрессии выбирают по характеру расположения точек на корреляционном поле. Необходимо отметить, что выбор общего вида экспериментальной функции не является однозначным, т.е. одну и ту же экспериментальную зависимость можно аппроксимировать либо многочленом, либо показательной, степенной или логарифмической функцией, т.е. функциями, допускающими линеаризации.

Рассмотрим второй основной метод подбора нелинейных эмпирических функций регрессии, т.е. аппроксимацию используемых зависимостей многочленами (параболами) вида

Для обоснования выбора порядка (максимальной степени) параболы необходимо исходить из следующего:

· наибольшее число экстремальных точек, которые может иметь парабола порядка n, равно (n – 1), т.е. парабола второго порядка может иметь не больше одного экстремума, парабола третьего порядка – не более двух экстремальных точек и т.д.;

· согласно теореме Вейерштрасса, любую непрерывную функцию (в нашем случае неизвестную истинную криволинейную функцию регрессии) можно приблизить на конечном интервале сколь угодно точно параболой порядка n;

· в большинстве случаев при обработке экспериментальных данных оказывается, что аппроксимация эмпирических зависимостей параболами выше четвертого порядка приводит к очень незначительному увеличению точности. Поэтому считается практически нецелесообразным применять параболы выше четвертого порядка.

Для определения степени полинома используют метод тождественности разделенных или неразделенных разностей.