Построение эмпирической функции распределения, гистограммы и полигона частот

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события . По определению, , где - число вариант, меньших ; - объем выборки.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению .

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки .

Для построения эмпирической функции распределения случайной величины, гистограммы и полигона частот для заданной выборки объемом выполним следующие расчеты:

1. Отсортируем выборку по возрастанию с помощью Microsoft Excel. Отсортированная выборка представлена в таблице 1.

 

Таблица 1

Исходная выборка, отсортированная по возрастанию.

-2274,35	-414,16	-68,42	-38,05	-37,37	-35,15	-27,45	-20,9	-20,64	-20,42
-16,22	-14,69	-13,91	-11,87	-11,01	-10,98	-10,56	-10,22	-9,65	-9,29
-9,21	-8,89	-8	-7,38	-7,37	-7,37	-6,34	-6,28	-6,23	-5,97
-5,95	-5,09	-4,65	-4,56	-4,26	-4,13	-4,07	-3,95	-3,73	-3,42
-3,28	-3,1	-2,91	-2,68	-2,35	-1,81	-1,77	-1,6	-1,6	-1,45
-1,44	-1,42	-1,09	-1,07	-0,86	-0,85	-0,85	-0,81	-0,73	-0,68
-0,58	-0,42	-0,34	-0,25	-0,04		0,08	0,11	0,14	0,17
0,28	0,95	0,97	1,03	1,16	1,21	1,5	1,51	1,52	1,65
1,68	1,86	2,69	3,16	3,4	3,63	4,08	4,16	4,67	5,13
5,14	5,71	5,82	6,47	6,6	7,11	7,15	9,75	10,09	10,28
11,65	12,48	12,72	13,29	16,56	17,65	17,77	19,77	19,92	21,2
22,2	22,44	22,56	29,58	30,3	32,23	38,52	43,2	52,58	100,82

 

2. Разобьем весь диапазон наблюдаемых значений на интервалы. Рассчитаем количество интервалов по следующей формуле:

Так как , то

3. Определим размах выборки Для данной выборки (см. таблицу 1) , , тогда:

4. Находим ширину интервалов (шаг) по формуле:

Так как , , то

5. Границы интервалов найдем по формулам:

6. Находим количество точек, попавших в i-ый интервал -
частоты

7. Находим середину i-ого интервала .

8. Для каждого интервала находим накопленные частоты:

9. Определим относительную частоту i-ого интервала по формуле:

10. Для каждого интервала находим относительные накопленные частоты по следующей формуле:

11. Для i-ого интервала находим оценку плотности вероятности:

Результаты расчетов приведены в таблице 2.

 

Таблица 2

Результаты расчетов для построения ЭФР, гистограммы и полигона частот

№
	[-2274,35; -1935,04)		-2104,695		0,0083	0,0083
	[-1935,04; -1595,73)		-1765,385			0,0083
	[-1595,73; -1256,42)		-1426,075			0,0083
	[-1256,42; -917,11)		-1086,765			0,0083
	[-917,11; -577,8)		-747,455			0,0083
	[-577,8; -238,49)		-408,145		0,0083	0,0166
	[-238,49; 100,82]		-68,835		0,9833	0,9999

 

Графиком эмпирической функции распределения (ЭФР) случайной величины является ступенчатая функция. График полученной ЭФР показан на рис. 1.

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Гистограмма частот для данной выборки изображена на рис. 2.

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот. Полигон частот заданной выборки показан на рис. 3.