X. Гипотезы о числовых характеристиках

1) Проверка гипотезы

Выдвинем нулевую гипотезу и конкурирующую ей:

Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема и по ней найдено среднее арифметическое значение , дисперсия известна . Требуется по среднему арифметическому при уровне значимости = 0,01; 0,05; 0,1 проверить нулевую гипотезу о равенствематематического ожидания и значения .

Наблюдаемое значение критерия вычислим по формуле:

,

По таблице функции Лапласа [4] найдем критические точки для уровней значимости = 0,01; 0,05; 0,1 по равенству:

Критические точки для уровней значимости = 0,01; 0,05; 0,1 представлены в таблице 19.

Таблица 19

0,01	0,495	2,58
0,05	0,475	1,96
0,1	0,45	1,65

 

Получили, что для всех уровней значимости , следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

2) Проверка гипотезы

Выдвинем нулевую гипотезу и конкурирующую ей:

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема и по ней найдена несмещенная оценка дисперсии с степенями свободы. Требуется по несмещенной оценке при уровне значимости = 0,01; 0,05; 0,1 проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что дисперсия рассматриваемой выборки равна значению .

Критерий проверки нулевой гипотезы:

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область правосторонняя. Критическую точку находим по таблице процентных точек распределения [1].

Критические точки для уровней значимости = 0,01; 0,05; 0,1 представлены в таблице 20.

Таблица 20

0,01	128,803
0,05	117,632
0,1	111,944

 

Так как для всех уровней значимости = 0,01; 0,05; 0,1, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

3) Проверка гипотезы

Выдвинем нулевую гипотезу и конкурирующую ей:

Заданы две выборки, которые были выбраны случайным образом преподавателем из исходных данных (см. задание на курсовую работу), без РВЗ:

Первая выборка :

16,56

13,29

-8

-6,28

-0,04

3,4

4,67

-4,56

1,65

6,47

-3,1

Вторая выборка :

-10,98

0,11

-1,77

7,11

-11,87

-4,13

-7,38

-3,1

 

Генеральная совокупность, из которой извлечены независимые выборки с объемами и , распределена нормально. По данным выборкам определим несмещенные оценки дисперсии и :

Требуется по несмещенным оценкам дисперсии при уровне значимости = 0,01; 0,05; 0,1 проверить нулевую гипотезу, состоящую в том что дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы выступает отношение большей несмещенной оценки дисперсии к меньшей:

В нашем случае:

По таблице процентных точек F-распределения [1] по уровню значимости и числам степеней свободы (число степеней свободы большей несмещенной оценки дисперсии), (число степеней свободы меньшей несмещенной оценки дисперсии) найдем критические точки (см. таблицу 21).

Таблица 21

0,01	6,6201
0,05	3,6365
0,1	2,7025

 

Так как для всех уровней значимости = 0,01; 0,05; 0,1, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

 

4) Проверка гипотезы

Выдвинем нулевую гипотезу и конкурирующую ей:

Заданы две выборки:

Первая выборка :

16,56

13,29

-8

-6,28

-0,04

3,4

4,67

-4,56

1,65

6,47

-3,1

Вторая выборка :

-10,98

0,11

-1,77

7,11

-11,87

-4,13

-7,38

-3,1

Найдем средние арифметические выборки, объем которой и выборки, объем которой :

В качестве проверки нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (как показала проверка гипотезы об однородности дисперсий, сделанная в предыдущем пункте) необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия:

,

при , , которые были вычислены ранее.

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид ,поэтому критическая область - правосторонняя, находим по таблице критических точек распределения Стьюдента [1] при уровне значимости = 0,01; 0,05; 0,1 критическую точку , где - число степеней свободы (см. таблицу 22).

Таблица 22

0,01	2,5669
0,05	1,7396
0,1	1,3334

 

Так как , то для уровней значимости = 0,05; 0,1 нулевую гипотезу о равенстве математический ожиданий отвергаем, а для уровня значимости = 0,01 эту гипотезу принимаем, так как в этом случае .