1. На рис. 5. изображен график закона распределения для данной выборки. Этот график больше всего похож на кривую нормального закона распределения, которая имеет симметричный холмообразный вид [2, c.117].
2. Для нормального закона распределения характерны следующие равенства:
1)
2)
3)
Проверим выполнение этих равенств для выборки .
1) , , следовательно,
2) , , , следовательно,
3) , , следовательно,
Характерные для нормального распределения равенства выполняются.
3. Для симметричного закона распределения, а нормальный закон распределения – это симметричный закон, необходимо выполнение следующих равенств: , , т.е. равенство нулю несмещенных оценок коэффициента асимметрии и коэффициента эксцесса.
Проверим выполнение этих равенств для выборки :
, следовательно,
, следовательно,
Характерные для симметричного закона распределения равенства выполняются.
4. Правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения.
Проверим выполнение этого правила для нашей выборки.
Все элементы выборки входят в отрезок , т.е. условие, указанное в правиле трех сигм, выполняется, значит есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально.
6.2 Критерий Пирсона
Критерий согласия - критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.
Существует несколько критериев согласия: К. Пирсона, Колмогорова, критерий , Смирнова и т.д. Сначала рассмотрим критерий Пирсона – критерий .
Критерий Пирсона отвечает на вопрос о том, случайно ли расхождение частот. Правда, как и любой критерий, он не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости е согласие или несогласие с данными наблюдений.
Прежде чем проверять гипотезу о выбранном законе распределения, сначала необходимо выдвинуть эту гипотезу () и конкурирующую ей ():
: случайная величина подчиняется нормальному закону распределения
: случайная величина подчиняется другому закону распределения
Для применения критерия Пирсона воспользуемся интервалами построенными ранее (таблица 4), но так как не в каждый интервал гистограммы попадает более пяти данных (интервалы 1,6,7, здесь , см. таблицу 4), то для применения этого критерия объединим соседние столбцы гистограммы, т.е. объединяем 1,2 интервалы и 6,7 интервалы.
Для каждого интервала вычислим теоретическую вероятность попадания случайной величины в i-ый интервал гистограммы, при условии, что гипотеза справедлива: ,
Для каждого интервала вычислим теоретическое количество точек, попадающих в i-ый интервал: .
Для каждого интервала находим меру близости теоретических и практических данных i-ого интервала
Вычислим общую меру близости: , где r – число интервалов на гистограмме.
Перед тем как считать теоретическую вероятность попадания случайной величины в i-ый интервал гистограммы , необходимо нормировать случайную величину , т.е. вычислить значения и , причем наименьшее значение положим равным , а наибольшее - . Следует также напомнить значения, необходимые для вычисления : , . Вычисление данных значений приводится в таблице 6.
Результаты вычислений представлены в таблице 7.
Таблица 6
Нормирование случайной величины
№ | |||||
(; -6,8542) | -5,9945 | -0,9378 | |||
[-6,8542; -2,1713) | -5,9945 | -1,3116 | -0,9378 | -0,2052 | |
[-2,1713; 2,5116) | -1,3116 | 3,3713 | -0,2052 | 0,5274 | |
[2,5116; 7,1945) | 3,3713 | 8,0542 | 0,5274 | 1,26 | |
[7,1945; ) | 8,0542 | 1,26 |
Таблица 7
Результаты вычислений для критерия Пирсона
№ | |||||||
(; -0,9378) | 0,1741 | 0,1741 | 16,5395 | 0,0176 | |||
[-0,9378; -0,2052) | 0,1741 | 0,4189 | 0,2448 | 23,256 | 0,7789 | ||
[-0,2052; 0,5274) | 0,4189 | 0,7009 | 0,282 | 26,79 | 3,8911 | ||
[0,5274; 1,26) | 0,7009 | 0,8962 | 0,1953 | 18,5535 | 0,6806 | ||
[1,26; ) | 0,8962 | 0,1038 | 9,861 | 0,3512 | |||
5,7194 |
Значит
Найдем число степеней свободы распределения : , где - количество интервалов , – число параметров предполагаемого закона распределения. Получим
По таблице процентных точек распределения [1] находим критические значения при для уровней значимости = 0,01; 0,05; 0,1:
Поскольку меньше критических значений , , то для уровней значимости = 0,01; 0,05, согласно критерию Пирсона, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Так как больше критического значения , то для уровня значимости = 0,1 нулевая гипотеза отвергается.