Представление данных в ЭВМ, в силу физических законов ее функционирования, не может осуществляться на основе десятичной системы счисления. Базовым элементом любой цифровой ЭВМ является так называемый ключ, поведение которого характеризуется двумя состояниями – включено (1), выключено (0), то есть состояние этого ключа, а также множества других ключей в ЭВМ может быть описано с помощью двух цифр: нуля и единицы. Эти соображения послужили причиной применения двоичной системы счисления.
Все цифры в числе определяются ее порядком. Например, десятичное число 2002,9=2×103+0×102+0×101+2×100+9×10-1 можно представить в виде суммы частных произведений. Первый сомножитель принимает значение цифры в десятичной системе счисления, а второй – (число десять) основание десятичной системы счисления. Показатель степени при числе 10 равен порядковому номеру позиции цифры в исходном числе.
Для произвольной системы счисления можно записать
k×Ni+k×Ni-1+…+k×N1+k×N0+k×N-1+…+ k×N-m,
где k – принимает значение любой цифры данной системы счисления; N – основание данной системы счисления; i – номер позиции (показатель степени), которую цифра занимает в числе до запятой, а m – порядковый номер цифры в числе после запятой.
Примеры:
a) ;
b) ;
c) .
Таблица 1
N(10) | N(2) | N(16) |
Продолжение табл. 1
A | ||
B | ||
C | ||
D | ||
E | ||
F |
Для перехода от двоичной системы счисления к шестнадцатеричной достаточно разбить исходное двоичное число на группы по четыре цифры справа налево и затем заменить эти двоичные группы на соответствующие им цифры шестнадцатеричной системы счисления.
Например:
a) 110.0011.1100.1011.0011(2) = 63CB3(16);
b) 1111.0000.1010.0111(2) = F0A7(16);
Обратное преобразование осуществляется заменой шестнадцатеричных цифр в числе соответствующими двоичными эквивалентами из табл. 1.
Например:
2ae7b(16) = 0010.1010.1110.0111.1011(2).