Системы счисления

 

Представление данных в ЭВМ, в силу физических законов ее функционирования, не может осуществляться на основе десятичной системы счисления. Базовым элементом любой цифровой ЭВМ является так называемый ключ, поведение которого характеризуется двумя состояниями – включено (1), выключено (0), то есть состояние этого ключа, а также множества других ключей в ЭВМ может быть описано с помощью двух цифр: нуля и единицы. Эти соображения послужили причиной применения двоичной системы счисления.

Все цифры в числе определяются ее порядком. Например, десятичное число 2002,9=2×103+0×102+0×101+2×100+9×10-1 можно представить в виде суммы частных произведений. Первый сомножитель принимает значение цифры в десятичной системе счисления, а второй – (число десять) основание десятичной системы счисления. Показатель степени при числе 10 равен порядковому номеру позиции цифры в исходном числе.

Для произвольной системы счисления можно записать

k×Ni+k×Ni-1+…+k×N1+k×N0+k×N-1+…+ k×N-m,

где k – принимает значение любой цифры данной системы счисления; N – основание данной системы счисления; i – номер позиции (показатель степени), которую цифра занимает в числе до запятой, а m – порядковый номер цифры в числе после запятой.

Примеры:

a) ;

b) ;

c) .

 

 
Существенным недостатком двоичной системы счисления является то, что для представления больших чисел необходимо большое количество двоичных разрядов, а это, в свою очередь, приводит к уменьшению надежности в представлении двоичных чисел. Имеется в виду, что вероятность возникновения ошибки при написании числа с увеличением его разрядности возрастает, кроме того, двоичная система счисления не является компактной. С другой стороны, отказываться от этой системы мы не можем, поэтому в качестве обоснованного компромисса используется шестнадцатеричная система счисления. Ее достоинством является компактность в записи больших чисел и простота при переходе от шестнадцатеричной системы к двоичной и обратно. В табл. 1 в первом столбце показаны десятичные числа от 0 до 15, во втором столбце двоичные эквиваленты этих десятичных чисел, а в третьем столбце приведены цифры шестнадцатеричной системы счисления.

 

 

Таблица 1

N(10) N(2) N(16)

Продолжение табл. 1

A
B
C
D
E
F

 

Для перехода от двоичной системы счисления к шестнадцатеричной достаточно разбить исходное двоичное число на группы по четыре цифры справа налево и затем заменить эти двоичные группы на соответствующие им цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Например:

a) 110.0011.1100.1011.0011(2) = 63CB3(16);

b) 1111.0000.1010.0111(2) = F0A7(16);

Обратное преобразование осуществляется заменой шестнадцатеричных цифр в числе соответствующими двоичными эквивалентами из табл. 1.

Например:

2ae7b(16) = 0010.1010.1110.0111.1011(2).