Основнi властивостi визначникiв

 

Визначники мають ряд важливих властивостей, якi значно полегшують їх обчислення. Цi властивостi перевiримо на прикладi визначника 2-го порядку.

 

1) Визначник транспонованої матрицi дорiвнює визначнику заданої матрицi

Дiйсно,

тоді

2) Якщо у матрицi помiняти мicцями 2 рядки (колонки), то величина визначника змiнить знак на протилежний.

 

 

3) Визначник матрицi дорiвнює сумi добуткiв елементiв будь-якого рядка (колонки) на їх вiдповiднi алгебраїчнi доповнення.

 

4) Спiльний множник рядка чи колонки можна винести за знак визначника

 

 

5) Якщо елементи деякої колонки є суми "k" доданкiв, то визначник такої матрицi дорiвнює сумi "k" визначникiв матрицi, у кожної з яких елементами зазначеної колонки є вiдповiднi доданки, iншi елементи тi самi. Наприклад,

6) Якщо всi елементи деякого рядка (колонки) дорiвнюють нулю, то визначник такої матрицi дорiвнює нулю.

 

7) Якщо визначник має два однаковi рядки (колонки), то вiн дорiвнює нулю

 

 

8) Величина визначника не змiниться, якщо до елементiв деякого рядка (колонки) додати елементи iншого рядка (колонки), помноженi на довiльне число

 

9) Сума добуткiв деяких чисел на алгебраїчнi доповнення будь-якої колонки матрицi A дорiвнює визначниковi матрицi, одержаної iз матрицi A замiною зазначеної колонки вiдповiдно числами .

 

10) Cума добуткiв елементiв будь-якого рядка (колонки) матрицi на алгебраїчнi доповнення вiдповiдних елементiв iншого рядка чи колонки дорiвнює нулю.

Примітка. Скориставшись наведеними властивостями визначникiв, можна значно спростити їх обчислення. Наприклад, можна досягти того, що в деякому рядку чи колонцi всi елементи, крiм одного, дорiвнюватимуть нулю. Тодi визначник дорiвнюватиме добутку цього ненульового елемента на його алгебраїчне доповнення. Розглянемо приклад:

 

 

Тут ми скористалися властивостями 3) i 8). До еле-ментiв 1-го рядка додали елементи 2-го рядка, помноженi на 5; до елементiв 3-го рядка додали елементи 2-го рядка, помноженi на 7.

 

1.4 Розв¢язок систем. Правило Крамера

 

Розглянемо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (СЛАР) з трьома невiдомими. Обчислимо визначник D цiєї системи. Нехай D¹0.

 

 

Помножимо 1, 2, 3-є рiвняння на алгебраїчнi допов-нення елементiв першої колонки визначника D i складемо цi три рiвняння:

 

 

В першiй дужцi сума добуткiв елементiв першої колонки на їх алгебраїчнi доповнення, що дорiвнює визначниковi системи D, в другiй дужцi сума добуткiв елементiв другої колонки на алгебраїчнi доповнення елементiв першої колонки, що за властивiстью 10) дорiвнює нулю; в третiй - сума добуткiв елементiв третьої колонки на алгебраїчнi доповнення елементiв першої колонки, що також дорiвнює нулю; в четвертiй - сума добуткiв чисел на алгебраїчнi доповнення елементiв першої колонки, що за властивiстю 9) дорiвнює визначниковi, утвореному iз визначника системи замiною першої колонки колонкою вiльних членiв.

 

Помноживши вci три рiвняння на алгебраїчнi доповнення елементiв другої, а потiм третьої колонки i додавши їх, отримаємо систему:

Звiдси

 

Правило Крамера: Невiдоме системи n лiнiйних алгебраїчних рiвнянь з n невiдомими дорiвнює дробовi, в знаменнику якого визначник системи, а в чисельнику визначник, що утворений iз визначника системи замiною колонки при невiдомому колонкою вiльних членiв.