ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ

Рассмотрим плоский изгиб стержня, загруженного сосредоточенной силой Р (рис. 1.2).

На некотором расстоянии z выделим сечение (точка А), у которого будет некоторый прогиб y и угол поворота q. На расстоянии dz от прежнего сечения выделим еще одно сечение (точка В) прогиб которого y+dy, а угол поворота q-dq. Эти два сечения образуют между собой угол dq, пересекаясь в некоторой точке О. Расстояние АО=ВО=r, где r - радиус кривизны балки.

Длина дуги dS, образованная этими двумя сечениями может быть найдена как:

 

.

 

Рис.1.2.

 

Из элементарного треугольника (рис. 1.2), приняв АВ»dS, получим

, или .

 

Кривизна балки определится как

.

 

Продифференцируем угол поворота по координате

.

 

Используем известную тригонометрическую зависимость

.

 

Объединяя полученные зависимости, получим кривизну балки в виде:

.

(1.1)

 

Известно, что кривизна балки связана с внутренними силовыми факторами соотношением:

 

Приравнивая правые части уравнений, получим полное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:

.

(1.2)

 

Зачастую в инженерных расчетах угол поворота является небольшой величиной и составляет q <1…2⁰. При таких углах

, тогда
,	(1.3)

т.е. в первом приближении можно полагать, что угол поворота является первой производной от прогиба (1.1) по координате. Также проанализируем знаменатель правой части уравнения.

 

При рад, получим

.

 

Очевидно, что погрешность такого допущения не превышает 0,1%, поэтому в инженерной практике часто используют приближенное уравнение изогнутой оси бруса:

.

(1.4)

 

Очевидно, что уравнение является дифференциальным 2-го порядка. Интегрируя это уравнение при известной функции моментов М_x(z), можно получить функцию углов поворота и прогибов сечений балки:

,	(1.5)
.	(1.6)

 

Константы интегрирования С и D определяются в зависимости от граничных условий балки – условий закрепления балки на опорах.

Пример 1.1. Вычислить прогиб и угол поворота на консоли длиной L при действии сосредоточенной силы P (рис. 1.3). Введем правостороннюю систему координат, совместив ее начало с левым краем балки. Выделим некоторое сечение с координатой z. Изгибающий момент в этом сечении определится как:	Рис.1.3.
.

 

Используем уравнение, получим

. Интегрируя по координате обе части получим
.

 

Константу С найдем из условия жесткого закрепления балки на опоре, т.е. . Получим

, откуда . Тогда функция углов поворота примет вид:
.	(1.7)

 

Интегрируя по координате еще раз, получим уравнение прогибов

.

 

Константу D найдем из условия жесткого закрепления балки на опоре, т.е. .

, откуда .

 

Тогда функция прогибов примет вид:

.

(1.8)

 

По условию необходимо знать прогиб и угол поворота на консоли, т.е. при z=0. Подставим z=0 в уравнения (1.7) и (1.8), получим

, .

 

Угол поворота сечения на консоли имеет знак «+», следовательно, поворот сечения происходит против часовой стрелки. Прогиб этого сечения имеет знак «-», что означает перемещение сечения вниз.

При наличии на балке большего количества участков решение задачи усложняется, поскольку на каждом из участков уравнение моментов имеет различный вид. В этих случаях на практике используются специальные методы вычисления перемещений, например, метод начальных параметров, метод Верещагина и др. Изучение этих методов вычисления перемещений выходит за рамки настоящего курса.