Вывод формулы Эйлера основан на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии стержня. Это уравнение справедливо только в пределах линейной зависимости между напряжениями и деформациями, поэтому и формула Эйлера применима только до тех пор, пока критические напряжения, определяемые по этой формуле, не превосходят предела пропорциональности σпц, т. е. при условии
.
Используя соотношение , где imin – наименьший радиус инерции площади поперечного сечения стержня, можем записать это условие так:
.
Введем обозначение гибкости стержня:
. | (2.3) |
Безразмерная величина отношения расчетной длины стержня к радиусу инерции площади его поперечного сечения называется гибкостью.
Тогда критические напряжения определятся как
,
где - предел пропорциональности материала стержня.
Откуда нетрудно получить величину предельной гибкости, при которой деформации стержня будут упругими:
.
Вводя обозначение предельной гибкости , получаем следующее условие применимости формулы Эйлера.
Например, для конструкционной малоуглеродистой стали с σпц=210 МПа и E=2.1·105 МПа формулой Эйлера (2.4) можно пользоваться лишь при гибкости стержня
.
Тщательно поставленные опыты показали справедливость формулы Эйлера для стержней большой гибкости. В то же время эти опыты подтвердили неприменимость формулы Эйлера для стержней, гибкость которых . Для таких стержней формула Эйлера (2.4) дает значения критических нагрузок, превышающие их действительные значения. Попытки использовать формулу Эйлера для стержней средней и малой гибкости приводили иногда к серьезным катастрофам. Теория устойчивости стержней за пределом пропорциональности была развита Карманом, Энгессером, Шенли, Тетмайером, Ясинским...
Наибольшее распространение получила формула определения критических напряжений, предложенная Ф.С. Ясинским (1895 г.):
(2.4) |
В этой формуле λ – гибкость стержня, a и b – коэффициенты, зависящие от свойств материала. Например, для стали 3 при σв=380 МПа и σт=240 МПа формула имеет вид:
(МПа).
По формуле (2.4) проводится расчет на устойчивость стержней средней гибкости, разрушение которых при сжатии сопровождается значительным боковым выпучиванием. Для стержней малой гибкости (λ<λ1) понятие потери устойчивости неприменимо в том смысле, в каком применяется для стержней большой гибкости. Стержни, у которых длина невелика по отношению к размерам поперечного сечения, выходят из строя главным образом из-за того, что напряжения сжатия в них достигают предела текучести σт (при пластичном материале) или предела прочности σвр (при хрупком материале). Поэтому для стержней малой гибкости в качестве критического напряжения принимается предел текучести σт или предел прочности σвр. Четкой границы между стержнями малой и средней гибкости провести нельзя. В расчетах принимают .
Зависимость критических напряжений σкр от гибкости λ изображается графически в виде полной диаграммы критических напряжений. Такая диаграмма для малоуглеродистой стали представлена на рис. 2.6.
Рис. 2.6.
Для стержней малой гибкости () зависимость σкр от λ выражена горизонтальной прямой, для стержней средней гибкости () – наклонной прямой в соответствии с зависимостью Ясинского (2.4), а для стержней большой гибкости () – гиперболой Эйлера. Если известна гибкость рассчитываемого стержня, то критическое напряжение может быть найдено непосредственно по диаграмме критических напряжений.