Неперервні випадкові величини
Випадкова величина X називається неперервною, якщо: 1) множина її значень співпадає з проміжком (кількома проміжками) числової осі; 2) ймовірність того, що випадкова величина набуває будь-якого наперед заданого значення x0 дорівнює нулю: P{X= x0}= 0 (взагалі кажучи, із 2) випливає 1)). Зауважимо, що хоча P{X=x0}=0, подія X=x0 є можливою.
Випадкові величини, описані вище у прикладах 3), 4), 5) пункту 2.1.1, є неперервними.
Означення 1. Невід’ємна функція pX(x) називається щільністю ймовірності (щільністю розподілу) випадкової величини X, якщо ймовірність попадання випадкової величини у довільний проміжок [x0; x0+Dx) малої довжини приблизно дорівнює pX (x0)·Dx:
P{XÎ[x0; x0+Dx)} ~ pX (x0)·Dx (Dx®0). (6)
Таким чином, число pX (x0)·Dx характеризує долю тих випробувань у достатньо довгій серії, в яких випадкова величина X попадає у проміжок [x0; x0+Dx).
Щільність ймовірності pX(x) випадкової величини X має розмірність, обернену до X.
Щільність ймовірності pX (x) випадкової величини X має таку характерну властивість, яку сформулюємо у вигляді теореми.
Теорема. Ймовірність попадання неперервної випадкової величини X у проміжок [c; d) знаходиться за формулою
. (7)
Для доведення формули (7) потрібно розбити проміжок [c; d) на велику кількість відрізків [xk; xk+1) малої довжини Dxk (відрізки не перетинаються). Ймовірність попадання випадкової величини X у проміжок [xk; xk+1) на підставі (6) приблизно дорівнює pX (xk)Dxk. Підсумовуючи ці ймовірності і переходячи до границі при max Dxk ® 0, одержуємо формулу (7). У лівій частині формули (7) можна замінити проміжок [c; d) на [c; d], (c; d). Геометричний зміст теореми дає малюнок 2.5.
Із співвідношення (7) випливають такі наслідки:
1) 
(умова нормування);
2) 
.
Наслідок 2) у точках неперервності функції pX (x) має таку еквівалентну форму запису:
.
Функція розподілу неперервної випадкової величини є неперервною кусково-гладкою функцією. Характерний вигляд функції розподілу приведено на мал.2.6.
Приклад 1. Щільність ймовірності неперервної випадкової величини X має вигляд
Знайти: 1) a; 2) FX (x); 3) P{XÎ[1 ∕ 3; 4]} .
Розв’язок. 1) Коефіцієнт a знаходимо із умови нормування:
.
2) 
Графік функції розподілу приведено на мал.2.7.
3) 
.
Розглянемо деякі найбільш важливі неперервні розподіли.
1) Рівномірний (прямокутний) розподіл. Випадкова величина X рівномірно розподілена у проміжку [c ; d], якщо її щільність ймовірності має вигляд (мал.2.8.а):
 |
Цей розподіл є неперервним аналогом класичного означення ймовірності (відповідає припущенню про довільний вибір точки у проміжку [c ; d]). Графік функції розподілу приведено на мал.2.8.б.
Якщо при вимірюванні результат округляється до найближчого цілого значення, то помилка вимірювання є неперервною випадковою величиною, яка рівномірно розподілена у проміжку [– 0.5 ; 0.5].
Помилка, яка допускається при округленні числа з точністю до 10-m, рівномірно розподілена у проміжку [– 0.5·10-m ; 0.5·10-m].
2) Показниковий розподіл. Випадкова величина X має показниковий розподіл з параметром l>0, якщо її щільність розподілу
, (8)
де 1(x)=
– одинична функція.
Відповідна функція розподілу має вигляд
.
Графіки щільності ймовірності та функції розподілу приведені на мал.2.9.а і 2.9.б.
Показниковий розподіл (і тільки він серед неперервних розподілів) має властивість «відсутності післядії»:
P{X > x1+ x2 ⁄ X > x1} = P{X > x2} (x1, x2 > 0).
Дійсно,
Зауваження. Нехай кількість відмов приладу на проміжку часу [0 ; t] розподілена за законом Пуассона з параметром lt:
і випадкова величина T – тривалість проміжку часу між двома послідовними відмовами приладу (мал.2.10). Тоді випадкова величина T розподілена за показниковим законом з параметром l:
pT (t) =λe–λt ·1(t).
Дійсно,
FT (t) =P{T< t} =1–P{T ≥ t}.
Оскільки подія T ³ t означає, що на проміжку [0 ; t] прилад працює безвідмовно, то P{T ³ t} = p0(t) =e–λt. Отже,
FT (t) =1–e–λt (t ≥0)
і, таким чином,
.
Властивість відсутності післядії приводить до того, що ймовірність безвідмовної роботи приладу протягом проміжку часу тривалістю s не залежить від того, який проміжок часу t1 прилад уже пропрацював (мал.2.11).
Функцією надійності P(t) називається ймовірність P{T ≥ t} безвідмовної роботи приладу протягом проміжку часу t:
P(t)= P{T ≥ t}=1– P{T < t}=1–FT (t).
Таким чином, функція надійності дорівнює P(t)=e–λt·1(t), якщо відмови апаратури розподілені за законом Пуассона.
У деяких задачах (пов’язаних із старінням апаратури) вважають, що випадкова величина T – тривалість проміжку часу між двома послідовними відмовами приладу розподілена за законом Вейбулла-Гнеденко 
(при r =1 одержуємо показниковий розподіл). У цьому випадку функція надійності P(t) має вигляд:
P(t)=
.
3) Нормальний (Гаусів) розподіл. Випадкова величина X має нормальний розподіл з параметрами a та s2, якщо її щільність розподілу має вигляд (мал.2.12.а):
. (9)
У подальшому запис X~N(a;s2) означатиме, що випадкова величина X має розподіл Гауса з параметрами a та s2. Графік розподілу Гауса є симетричним відносно прямої x=a. Єдиний максимум досягається при x=a і дорівнює 
. Оскільки площа під графіком дорівнює 1, то при зменшенні s графік стає більш «високим» та «вузьким».
Функція розподілу випадкової величини X~N(a;s2) виражається через функцію Лапласа Ф(x) (пункт 1.5.2). Дійсно,
 |
Графік функції розподілу приведено на мал.2.12.б.
Розподіл Гауса відіграє фундаментальну роль в застосуваннях теорії ймовірності.
Оскільки ймовірність попадання випадкової величини у проміжок дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях проміжку, то
. (10)
Якщо проміжок [c; d] довжиною 2ss розташований симетрично відносно точки x=a, то формула (10) набирає особливо простого вигляду
. (10¢)
Зокрема, ймовірність попадання у проміжок [a-3s; a+3s] дорівнює 0.9973. Таким чином, можна стверджувати, що подія {XÏ[a-3s; a+3s]} є практично неможливою. У цьому полягає знамените правило «трьох сигм».
Приклад 2. Відхилення розміру деталі від стандартного розподілено за законом N(0;16 мм2). Деталь вважається придатною, якщо відхилення від стандарту не перевищує 6мм. Який відсоток випуску непридатних деталей?
Розв’язок. Нехай випадкова величина X – відхилення розміру деталі від номінального. Знайдемо ймовірність того, що деталь буде забраковано
Таким чином, брак складає майже 13.5%.