Дискретний випадковий вектор

Y X	y1	y2	...	ym
x1	p11	p12	...	p1m
x2	p21	p22	...	p2m
...	...	...	...	...
xn	pn1	pn2	...	pnm

Якщо обидві координати вектора є дискретними випадковими величинами, то вектор називають дискретним випадковим вектором. Дискретний випадковий вектор задається набором значень (x_k; y_j) та ймовірностями p_kj=P{X=x_k,Y=y_j}, з якими ці значення приймаються. Дискретний випадковий вектор, як правило, задають таблицею розподілу.

Ясно, що сума всіх ймовірностей p_kj дорівнює одиниці.

У таблиці розподілу випадкового вектора міститься вся інформація про нього. Зокрема, ця таблиця дозволяє знайти розподіл координат вектора.

Оскільки подія {X=x_k} складається з суми попарно несумісних подій {X=x_k,Y=y₁}, {X=x_k,Y=y₂},..., {X=x_k,Y=y_m}, то щоб одержати розподіл ймовірностей p_k випадкової величини X потрібно просумувати ймовірності p_kj, які стоять у k-му рядку таблиці:

p_k = P{X=x_k} = p_k1+ p_k2+...+p_km . (1)

При сумуванні ймовірностей p_kj по стовпцях знаходимо розподіл ймовірностей випадкової величини Y.

Y X	-2	-1
	0.15	0.05	0.25
	0.35	0.2

Приклад 1. Знайти розподіл координат випадкового вектора , заданого таблицею розподілу:

Розв’язок. На підставі формули (1) одержуємо розподіли координат X та Y:

X				Y	-2	-1
P	0.45	0.55		P	0.5	0.25	0.25

Виникає запитання: чи завжди можливо за розподілом координат зна­йти розподіл вектора? Виявляється, що відповідь на це питання негативна.

Введемо подібно до умовної ймовірності поняття умовного розподілу

. (2)

Випадкові величини X та Y називаються незалежними тоді, коли при всіх значеннях k та j справедливі співвідношення

.

Випадкові величини X та Y незалежні тоді і тільки тоді, коли при всіх значеннях k та j виконується рівність

.

Іншими словами, двовимірний розподіл вектора відновлюється по одновимірних розподілах його координат лише у тому випадку, коли координати вектора є незалежними випадковими величинами.

Приклад 2. В умовах прикладу 1 знайти умовні розподіли та з’ясувати питання про те, чи є випадкові величини X та Y залежними.

Розв’язок. На підставі формули (2) знайдемо умовний розподіл X при Y=2:

.

Аналогічно одержуємо умовний розподіл при Y= –1 та Y=2:

,

.

Випадкові величини X та Y є залежними, наприклад, тому що

.