Стійкість середнього арифметичного

Повну інформацію про випадкову величину дає її розподіл ймовірності. Проте часто експериментатор не володіє такою інформацією, та вона і не є необхідною. Досить охарактеризувати випадкову величину кількома числами. Найчастіше використовують дві характеристики випадкової величини – математичне сподівання (інакше, середнє значення) та дисперсію.

Нехай випадкова величина X приймає відповідно значення x₁, x₂,…, x_m з ймовірностями p₁, p₂,..., p_m. Проведемо серію з n випробувань, в кожному з яких будемо спостерігати значення випадкової величини. Припустимо, що в цій серії випадкова величина X прийняла n_k раз значення x_k (k=1, 2,..., m). Складемо середнє арифметичне результатів спостереження випробувань

.

Середнє арифметичне є випадковою величиною, оскільки воно залежить від конкретної серії випробувань і від n. Однак, із властивості стійкості частоти (n_k / n » p_k при достатньо великому n) випливає властивість стійкості середнього арифметичного (при зростанні n середнє арифметичне коливається поблизу деякого числа): » x₁·p₁+x₂· p₂+ ...+x_m·p_m.