Математичне сподівання функції випадкового вектора

Сформулюємо результат, в якому формули (1) та (2) містяться як окремі випадки.

Теорема 1. Якщо відомий розподіл випадкового вектора , то математичне сподівання випадкової величини Z=g(X,Y) знаходиться за формулою

(4)

Зокрема, якщо випадкова величина g(X,Y) дорівнює X, Y, X+Y, X·Y приходимо до формул (формули записані лише для випадку неперервних випадкових величин):

(5)

(6)

. (7)

Із формул (5)–(7) виходять такі властивості математичного сподівання.

Теорема 2. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань

M(X+Y )=MX+MY. (8)

Доведення. Скористаємося лінійністю інтеграла у формулі (6) а потім формулами (5).

Теорема 3. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин X та Y дорівнює добутку математичних сподівань цих випадкових величин

M(X·Y )=MX·MY. (9)

Доведення. Оскільки випадкові величини X та Y незалежні, то . У цьому випадку інтеграл у формулі (6) розпадається на добуток інтегралів, один із яких згідно з формулою (1) є MX, а другий – MY.

Зауваження. Із справедливості співвідношення (9) не випливає незалежність випадкових величин X та Y. Дійсно, нехай , Y=X².

Тоді MX=(–1)·1/2+1·1/2=0,

MY=M(X ²)=1·1/2+1·1/2=1, M(X·Y)=M(X ³)=(–1)·1/2+1·1/2=0.

Таким чином, M(X·Y)=MX·MY, але випадкові величини X та Y залежні не тільки в імовірнісному сенсі, а і функціонально.

Приклад 1. Знайти математичне сподівання випадкової величини X, яка має біноміальний розподіл (розділ 2.1, формула (4)).

Розв’язок. Будемо розглядати X, як кількість появ події A у серії з n незалежних випробувань з імовірністю p появи в кожному з них. Позначимо через X_i (i=1,...,n) кількість появ події A у i-му випробуванні. Тоді X=X₁+X₂+...+X_n і на підставі (8) одержимо: MX=MX₁+MX₂+...+MX_n. Оскільки величини X_i мають однаковий розподіл, то на підставі результату прикладу 1 пункту 3.1.2, одержимо MX=n·MX_n=n·p. Звідси випливає, що математичне сподівання частоти X/n появ події A дорівнює M(X/n)=.

Приклад 2. В теорії масового обслуговування зустрічається випадкова величина h, що є сумою n незалежних випадкових величин, кожна з яких розподілена за показниковим законом з параметром l. Знайти математичне сподівання випадкової величини h.

Розв’язок. Враховуючи результат прикладу 3 пункту 3.1.2, на підставі формули (8) будемо мати Mh=n/l.

Закон розподілу величини h – закон Ерланга n–1-го порядку (пункт 2.2.4, наслідок 2).