Алгебра випадкових подій.

Подія А ÈB (A+B), яка полягає в тому, що наступає принаймні одна з подій А або B, називається об¢єднанням (сумою) цих подій (мал.1.4.а,б,в).

Подія А Ç B (A·B), яка полягає в тому, що наступають обидві події А та B, називається перерізом (добутком) цих подій (мал.1.4.а,б,г).

Із визначення операцій È та Ç випливають такі співвідношення:

А ÈА=А, А Ç А=А, А ÈW=W, А ÇW=А, А Ç (B ÈС)=(А Ç B) È(А ÇС).

Операції È та Ç пов‘язані одна з одною двома важливими формулами:

а) , б) . (1)

Далі будуть зустрічатись системи, які з точки зору їх надійності складаються з послідовно або паралельно з’єднаних елементів (блоків). До відмови системи в цілому призводить у першому випадку відмова будь-якого одного елемента, у другому – відмова всіх її елементів.

Приклад 1. Нехай подія А_i полягає у тому, що i-тий елемент схеми справний. Потрібно виразити через А_i подію А, яка полягає в тому, що схема, показана на мал.1.5, також справна.

Розв’язок. а) Система справна, якщо справна хоч одна з гілок I і II. Подія, яка полягає у функціонуванні гілки I виражається добутком А₁·А₂. Таким чином, А=А₁·А₂+А₃. б) Система справна при умові функціонування обох гілок I і II. Подія, яка полягає у функціонуванні гілки I виражається сумою А₂+А₃. Тому А=А₁·(А₂+А₃).

Означення 1. Події АтаB називаються несумісними, якщо їх переріз є неможливою подією.

Якщо АтаB несумісні, то несумісні також А·CіB·C.

Попарно несумісні події А_i (i=1,2,...,n) утворюють повну систему подій (розбиття W), якщо їх сума є вірогідною подією:

А₁+А₂+...+А_n=W, А_i·А_k = Æ (i¹k).

Події А і`А утворюють повну систему подій.

Приклад 2. Проводяться два постріли по мішені. Позначимо через А_i (i=1,2) подію, що полягає у попаданні по мішені при i-тому пострілі. Потрібно виразити через А_i події А таB, які відповідно означають, що в мішені буде: а) точно одна пробоїна; б) хоча б одна пробоїна.

Розв’язок. а) А =(доданки суми є несумісними подіями); б) А =А₁+А₂ (доданки суми є сумісними подіями) або А =(доданки суми є несумісними подіями, але не утворюють повної системи подій).

Приклад 3. Три локатори проводять пошук цілі. Позначимо через L_i (i=1,2,3) подію, що полягає у знаходженні цілі i-тим локатором. Потрібно виразити через L_i події, які відповідають умові, що ціль зафіксовано: а) тільки першим локатором; б) хоча б одним локатором; в) лише одним локатором; г) не більше, ніж одним локатором.

Розв’язок. Множина W елементарних подій складається з восьми точок:

а) А₁= w₂;

б) А₂=L₁+L₂+L₃== Ww₁;

в) А₃ = w₂+w₃+w₄;

г) А₄ == w₁+w₂+w₃+w₄.