Умовна ймовірність

Нехай АтаB є подіями, пов’язаними з деяким випробуванням і P(B)>0.

Означення 1. Умовною ймовірністю P(АïB) події А за умови здійснення події B називається відношення

. (1)

Властивості умовної ймовірності аналогічні властивостям ймовірностей 1-3 пункту 1.2.2.

Із співвідношення (1) випливає теорема множення ймовірностей

. (2)

Якщо P(A)>0, то теорема множення може бути записана у вигляді

. (2¢)

Ця теорема дозволяє знайти ймовірність перерізу (добутку) подій, якщо із змісту задачі зрозумілі (легко обчислюються) значення умовних ймовірностей.

Приклад 1. Ймовірність аварії при запуску ракети дорівнює 0,15. Ймовірність аварії на старті є 0,12. Яка ймовірність аварії при умові успішного старту.

Розв’язок. Нехай подія A полягає у тому, що запуск ракети успішний, а подія B - це успішний старт ракети. Із умов задачі випливає, що A·B=A. Отже,

Таким чином, P(/B)=1–P(A/B)=0.034.

Означення 2. Подія А називається незалежною від події B, якщо P(АïB)=P(А) (P(B)>0).

Нехай подія А незалежна від події B і P(A)>0. Тоді з формул (2) та (2¢) випливає, що подія B незалежна від події А. Таким чином, поняття незалежності подій є взаємним.

Події А та B незалежні тоді і тільки тоді, коли виконується рівність

. (3)

Якщо події А та B незалежні, то будуть незалежними такі пари подій: `А та B; А та`B;`А та`B.

У тому випадку, коли кількість подій перевищує два, вводиться поняття незалежних у сукупності подій. Останнє означає, що ймовірність якої-небуть події не залежить від здійснення інших. Наприклад, для трьох подій А₁, А₂, А₃, незалежних у сукупності, повинні виконуватись співвідношення P(A₁/A₂)=P(A₁), P(A₁/A₃)=P(A₁), P(A₁/A₂·A₃)=P(A₁), P(A₂/A₃)=P(A₂), P(A₂/A₁·A₃)=P(A₂), P(A₃/A₁·A₂)=P(A₃). Для подій А₁, А₂,..., А_n, незалежних у сукупності, справедливе співвідношення

. (3¢)

Приклад 2. Проводиться два постріли по мішені. Ймовірності попадання при першому та другому пострілі дорівнюють відповідно 0.3 і 0.6. Яка ймовірність, що у мішені буде: а) точно одна пробоїна; б) хоча б одна пробоїна?

Розв’язок. Позначимо через A_i (i=1,2) подію, яка полягає у тому, що при i–му пострілі буде попадання у мішень. Події A₁ та A₂ незалежні, але сумісні.

а) Нехай A – подія , яка полягає у тому, що у мішені буде точно одна пробоїна. Тоді . Оскільки події і несумісні, то на підставі аксіоми 3 і теореми множення ймовірностей одержимо

б) Нехай B – подія , яка полягає у тому, що в мішені буде хоча б одна пробоїна. Тоді B=A₁+A₂ і на підставі теорема додавання і множення ймовірностей матимемо

Інший спосіб розв’язку:

Приклад 3. Для умов прикладу 1 пункту 1.1.2 знайти ймовірність безвідмовної роботи (надійність) схеми, елементи якої виходять із ладу незалежно один від іншого з ймовірностями рівними відповідно 1– p_i (i=1,2,3). Яка схема надійніша при умові p_i =p (i=1,2,3)?

Розв’язок. Зрозуміло, що події A_i, які розглядаються в прикладі, незалежні у сукупності.

а) На підставі теорем додавання та множення ймовірностей одержимо:

P(A) =P(A₁·A₂)+P(A₃) – P(A₁·A₂·A₃)=P(A₁)·P(A₂)+P(A₃) – P(A₁)·P(A₂)·P(A₃)=

= p₁·p₂+p₃ – p₁· p₂· p₃.

б) Аналогічно знаходимо

P(A) =P(A₁)·P(A₂+A₃) =P(A₁)·[P(A₂)+P(A₃) – P(A₂)·P(A₃)] =

= p₁·(p₂+p₃ – p₂· p₃).

Більш надійною є перша схема, оскільки при p Î(0;1)

p²+p – p³ > 2p² – p³.

Відмітимо, що при знаходженні ймовірності суми сумісних подій доцільно переходити до протилежної події.

Приклад 4. Система (мал.1.7) складається з n паралельно з’єднаних елементів, які виходять з ладу протягом деякого проміжку часу незалежно один від одного з ймовірностями 1 – p_i (i=1,…,n). Знайти ймовірність безвідмовної роботи (надійність) системи.

Розв’язок. Нехай подія A_i (i=1,…,n) означає, що i-тий елемент не вийшов з ладу (справно працює). Позначимо через A подію, яка полягає у безвідмовній роботі системи. Оскільки система безвідмовно працює лише тоді, коли працює хоча б один її елемент, то A = A₁ÈA₂È...ÈA_n. Перейдемо до події, протилежної A (система виходить з ладу, якщо перестали функціонувати всі її елементи): . Оскільки події A_i незалежні у сукупності, то

P(A) = 1 – P() = 1 – = 1 – (1 – p₁)...(1 – p_n).

Внаслідок того, що 1 – p_i < 1, одержаний результат узгоджується з допущенням про зростання надійності системи при зростанні n.

Використаємо результат прикладу 4 для того, щоб знайти найменше число однотипних елементів, необхідних для забезпечення заданої надійності P системи:

P =1 – (1 – p)ⁿ Þ n = ëlg(1 – P) / lg(1 – p)û +1, (4)

де ëaû – найбільше ціле число, менше від a.