Аналіз точності методом кривих розподілу

Важливе значення для аналізу випадкової величини в машинобудуванні має закон розподілу випадкової величини (розподіл ймовірностей).

Закон розподілу випадкової величиниy(x) – функціональна залежність імовірності появи випадкової величини від значення випадкової величини x. Функція y(x) називається густиною розподілу випадкової величини. Імовірність попадання випадкової величини в інтервал від x₁ до x₂ дорівнює площі криволінійної трапеції, а в інтервал +∞ до -∞ дорівнює. В машинобудуванні найчастіше використовують закон рівної імовірності (рис. 2.1а), закон Сімпсона (рис. 2.1б), нормальний закон (рис. 2.1в) і закон ексцентриситету (рис. 2.1г). Виявлення закону розподілу випадкової величини дозволяє, наприклад, визначити фактичне поле розсіювання розмірів деталей (похибку обробки), підрахувати імовірний процент браку, виконати оптимальне розмірне підналагодження.

 

Рисунок 2.1 – Закони розподілу випадкових величин:

а - рівної імовірності; б - Сімпсона; в - нормальний; г - Релея

Нормальний закон розподілу випадкової величини(закон Гауса) найчастіше використовується для опису випадкової величини в науці і в техніці. Густина розподілу згідно цього закону визначається так:

, (2.8)

де x – випадкова величина,- середнє значення,- середнє квадратичне відхилення.

Якщо середнє значення=0 то.

Рисунок 2.2 - Вплив середнього квадратичного відхилення σ на вигляд кривої нормального розподілу

З зростанням x до +¥ або до -¥ функція y(x) асимптотично наближається до нуля. Тому на практиці обмежуються діапазоном розсіювання , в який попадатиме 99,73% площі під кривою. Іншими словами, імовірність появи значення випадкової величини в діапазоні дорівнює 0,9973.

Середнє квадратичне відхилення впливає на вигляд кривої та ширину поля (діапазон) розсіювання випадкової величини (рис.2.2).

Імовірність попадання випадкової величини в інтервал від x₁ до x₂ дорівнює площі криволінійної трапеції

.

Закон ексцентриситету (Релея)часто використовується для опису таких випадкових величин як ексцентриситет, биття, непаралельність, неперпендикулярність, овальність, конусність. Випадкова величина R являє собою геометричну суму випадкових величин x, y, які підлягають закону Гауса:

,,

.

Діапазон розсіювання випадкової величинидорівнює

для нормального закону: 6σ (якщо діапазон містить 99,73% від усієї сукупності);

для закону Сімпсона: ;

для закону рівної імовірності: ;

для закону Релея: 5,252s_R=3,44s₀.

Примітка: якщо відомі параметри тільки емпіричного розподілу, діапазон розсіювання знаходиться так: , де S – емпіричне середнє квадратичне відхилення, l – толерантна границя, яка залежить від імовірності P того, що діапазон містить не менше заданого процента із усієї генеральної сукупності.

Коефіцієнт розсіювання випадкової величини– це відношення діапазону розсіювання до середнього квадратичного відхилення випадкової величини:

для нормального закону: 6;

для закону Сімпсона: ;

для закону рівної імовірності: .

Коефіцієнт відносного розсіювання– це відношення коефіцієнта розсіювання нормального закону до коефіцієнта розсіювання іншого закону:

для нормального закону: 6/6=1;

для закону Сімпсона: ;

для закону рівної імовірності: .

Приклад. На токарному верстаті обробили партію валиків з 50 штук. Після вимірювання діаметрів валиків штангенциркулем з точністю 0,1 мм виявилось, що 1 валик має діаметр 19,6мм, 3 - 19,7мм, 9 – 19,8мм, 13 – 19,9мм, 16 – 20мм, 5 – 20,1мм, 3 – 20,2мм. Визначити середнє значення та середнє квадратичне відхилення діаметрів валиків. Побудувати полігон розподілу відносних частот та криву густини розподілу діаметра валиків згідно нормального закону (табл.2.1, рис.2.3).

Таблиця 2.1 – Приклад розрахунку числових характеристик випадкової величини

xi	mi	pi	mi×pi		y(x)	y(x)×h
19,6		0,02	0,392	0,002231	0,123458	0,012346
19,7		0,06	1,182	0,003285	0,628899	0,06289
19,8		0,18	3,564	0,003232	1,805828	0,180583
19,9		0,26	5,174	0,000301	2,922853	0,292285
		0,32	6,4	0,001394	2,66669	0,266669
20,1		0,1	2,01	0,002756	1,371429	0,137143
20,2		0,06	1,212	0,004245	0,397566	0,039757
å=			19,934	0,017444		0,991672
			σ =	0,132076		h=0,1 мм

 

Рисунок 2.3 - Полігон розподілу відносних частот та крива густини розподілу діаметра валиків згідно нормального закону

Знайдений закон розподілу дозволяє визначити: розмір, на який налагоджений верстат, сумарну похибку обробки, теоретичну величину виправного і невиправного браку, величину оптимального підналагодження верстата. Для практичного застосування необхідно оцінити узгодження емпіричних (P_i) і теоретичних (y(x)) даних за певним критерієм, наприклад критерієм узгодження Пірсона. Якщо дані не узгоджуються, підбирають інший закон розподілу.

Інтеграл імовірності Гаусадозволяє визначити імовірність появи випадкової величини в заданому діапазоні від 0 до x.

, (2.9)

де .

Може використовуватися для підрахунку імовірного браку деталей. Наприклад, потрібно визначити процент виправного і невиправного браку деталей, якщо відомо середнє квадратичне відхилення кривої розподілу σ=0,025 мм, середнє значення =19,97 мм і допустимі розміри деталі x_min=19,9 мм, x_max=20 мм (рис.2.4).

Рисунок 2.4 – Визначення теоретичного виправного і невиправного браку деталей