Похідна і оцінка еластичності попиту від ціни.
В попередніх розділах вже йшлося про різні визначення цінової еластичності попиту. Існує також математичне визначення еластичності функції (у) за змінною (х).
Нехай відома функція попиту Б(р) товару, де (р) - ціна товару. Тоді за формулою (5.4) еластичність попиту від ціни визначається наступною формулою:
Оскільки крива попиту D( р) - спадаюча функція (з ростом ціни попит спадає), то D'(р) < 0 . Тобто, при такому визначенні еластичність попиту від ціни від'ємна.
Ринковий попит залежить від багатьох змінних. Якою є його чутливість до кожної з них? Відповідь на ці питання дають коефіцієнти еластичності.
Нехай попит (D) на товар залежить від його ціни (р1), ціни іншого товару (р2) та доходу покупців (у). Отже, D = D(р1,р2,у).
Коефіцієнт еластичності попиту від власної ціни (коефіцієнт точкової еластичності) визначається за наступною формулою:
Коефіцієнт еластичності попиту від власної ціни показує, на скільки відсотків зміниться попит на товар при зміні його власної ціни на
Еластичність попиту від власної ціни від'ємна.
Коефіцієнт перехресної еластичності попиту визначається за наступною формулою:
Він показує, на скільки відсотків зміниться попит на товар при зміні ціни іншого товару (субституту, комплементу) на 1%.
Якщо інший товар є взаємозамінним (субститутом), то з ростом (Р2) росте попит на власний товар, так як при інших рівних умовах
Якщо інший товар є взаємодоповнюючим (комплементом), то з ростом (р2) зменшується попит на власний товар, оскільки збільшуються
Коефіцієнт еластичності за доходом визначається за наступною формулою:
Еластичність попиту від доходу покупців показує, на скільки відсотків зміниться попит на товар при зміні доходу покупців на 1%. Тут
Приклад 3. Функція попиту товару D(р) = 75 - 2р1 + 3р2 + 0,2у. Знайдемо коефіцієнт еластичності попиту від власної ціни (ε1), коефіцієнт перехресної еластичності попиту (ε 2), коефіцієнт еластичності за доходом (εy ) при власній ціні товару (р1 = 5 грн.), ціні іншого товару (р2 = 4 грн.) та доходів покупців (у = 1500 грн.). Якими є ці товари взаємозамінними (субститутами) чи взаємодоповнюючими (комплементами)? Як поводиться попит зі зростанням доходів покупців?
Тому товари взаємозамінні.
Тому з ростом доходів покупців попит на товар збільшується.
5.3. Ціна і оптимізація прибутку.
Головним показником результативності функціонування продавця є прибуток. Економіко-математична модель на максимум прибутку при відомій формі залежності попиту від ціни має наступний ви-гляд1:
Якщо відома функція попиту від ціни Q = D(Р), то підставивши її в (5.6), отримаємо наступну модель прибутку:
Тоді оптимізаційна задача формулюється таким чином: визначити ціну (р = р0), при який прибуток досягає максимуму (maxП(р)). Вид функції D(р) і С(D(р)), а також їх параметри можуть бути визначені в результаті аналізу відповідних статистичних даних (п.5.1).
Розглянемо випадок, коли функція витрат С(у) є лінійною та має наступний вигляд:
Будемо вважати, що залежність попиту від ціни також є лінійною та має наступний вигляд:
Підставляючи формули (5.8) та (5.9) у модель прибутку (5.6), отримаємо:
Рис. 5.10. Графік функції прибутку
Вимога max П(р) > 0 буде досягнута при умові вдатності дискримінанта квадратного тричлена від (р) (5.10):
Підставляючи оптимальну ціну (5.11) в функцію попиту (5.9), отримаємо оптимальний обсяг виробництва:
Приклад 4. Нехай залежність обсягу попиту на книжкову продукцію від ціни має вигляд (5.9), а функція витрат (5.8). Задамо значення:
- постійні витрати, які не залежить від обсягу випуску книжкової продукції,
- h = 36 тис. грн.;
- змінні витрати на одиницю книжкової продукції, v = 20 грн./екз.;
- максимально можливий обсяг тиражу, k = 4000 екз.;
- коефіцієнт l = - 40 екз./грн.
Оптимальна ціна задається формулою (5.11):
Оптимальний обсяг тиражу, який забезпечує максимальний прибуток, у відповідності з формулою (5.14) дорівнює:
Інтервал для ціни, в межах якої забезпечується рентабельність виробництва, визначається виразом (5.15):
Ціна має знаходитися в межах від 33,5 до 86,5 грн. за один екземпляр.
Максимальний прибуток, який досягається за оптимальною ціною, розраховуємо за формулою (5.12) дорівнює:
