Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела

Вращение твердого тела, как и любое другое движение, происходит в результате воздействия внешних сил. Для описания вращательного движения используем теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижного центра, записанную в проекциях на ось вращения, которую примем за координатную ось (Рис.5.7):

 

(5.6)

 

Вычислим кинетический момент тела относительно оси вращения. Любая точка (частица) тела описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а радиус равен кратчайшему расстоянию от точки до оси . Учитывая формулу Эйлера (5.4), получаем момент количества движения точки относительно оси :

 

 

где – масса частицы с номером .

Суммируя моменты количеств движения точек и переходя к пределу при массе частицы стремящейся к нулю, получаем кинетический момент тела относительно его оси вращения:

 

(5.7)

Величина

(5.8)

Рис.5.7

называется моментом инерции тела относительно оси . Моменты инерции характеризуют распределение массы в теле и играют существенную роль в описании движения материальных тел. Подробнее вопрос о моментах инерции будет рассмотрен ниже. Сейчас заметим только, что в рассматриваемом случае так как во время вращения расстояния от точек тела до оси вращения остаются постоянными.

Подставляя результат (5.7) в равенство (5.6), получаем:

(5.9)

 

Уравнение (5.9) называется дифференциальным уравнением вращательного движения твердого тела. Оно позволяет, зная приложенные к телу внешние силы, определить закон изменения угловой скорости тела и, следовательно, закон вращения

Заметим, что в уравнение (5.9) не входят неизвестные реакции шарниров и , поскольку они не создают момента относительно оси вращения.