Хвильові рівняння. Електродинамічні потенціали

 

 

5.1 Хвильові рівняння (рівняння Гельмгольця)

 

В електродинаміці існують два класи задач:

прямі задачі – необхідно визначити векториі по відомим джерелам;

зворотні задачі – по заданому розподілу поля вимагається знайти його джерела;

Визначити вектори безпосередньо з рівнянь Максвела важко, тому їх необхідно перетворити так, щоб отримати диференційні рівняння більш зручні для розв’язку вказаних задач.

Вважаємо, що середовище являється лінійним, однорідним і ізотропним. Розглянемо систему рівнянь Максвела разом з матеріальними рівняннями. Візьмемо ротор від обох частин першого рівняння Максвела і змінимо порядок диференціювання за часом і координатами. Враховуючи співвідношення одержуємо

 

,

. (5.1)

 

Ліву частину рівняння (5.1) перетворимо за допомогою відомої векторної тотожності

 

,(5.2)

 

де - оператор Лапласа.

В декартовій системі координат оператор Лапласа має вигляд

 

. (5.3)

З урахуванням (5.2), (5.3) перепишемо рівняння (5.1) в формі

 

. (5.4)

 

Через те, що , крім того , то (5.4) приймає вигляд

 

. (5.5)

 

Рівняння (5.5) еквівалентне трьом скалярним рівнянням

 

(5.6)

 

які відносяться до рівнянь вигляду

 

. (5.7)

 

Такі рівняння (5.7) описують хвильові процеси і називаються неоднорідними хвильовими рівняннями, або неоднорідними рівняннями Даламбера. В них параметр V дорівнює швидкості хвильового процесу.

Якщо f (x, y, z, t)=0 – то це однорідні рівняння Даламбера. Рівняння (5.5) і (5.7) відрізняються тільки тим, що функції, які входять в (5.5) - векторні. Тому рівняння вигляду (5.5) - називаються неоднорідними векторними рівняннями Даламбера. Якщо права частина дорівнює нулю, то вони - однорідні векторні рівняння Даламбера.

Для векторутакож можна вивести рівняння вигляду (5.4), взявши ротор від обох частин другого рівняння Максвела і виконавши аналогічні перетворення.

(5.8)

 

Враховуючи, що і вираз для Ñ2 (5.3), перепишемо рівняння (5.8) в вигляді

 

. (5.9)

 

Через те, що , а , то (5.9) приймає форму

 

(5.10)

 

В подальшому буде показане, що множник , який входить в (5.4) і (5.10), являється аналогом параметру V в (5.7). Якщо середовище без втрат, то він відіграє роль швидкості розповсюдження електромагнітного поля і дорівнює швидкості світла V0 в середовищі, яке розглядається.

Якщо в області, яка розглядається, є сторонні заряди і струми, то рівняння (5.5) і (5.10) будуть мати вигляд для векторіві

 

(5.11)

 

Вважаючи, що електромагнітні процеси встановилися, і середовище без втрат, в цьому випадку r=0, g=0, , то отримаємо з (5.11)

 

(5.12)

 

В випадку гармонійних полів, перейшовши у (5.12) до комплексних векторів, одержуємо

 

. (5.13)

 

де – комплексна магнітна і діелектрична проникність середовища.

Якщо в області простору, яка розглядується будуть відсутні сторонні струми і заряди , то (5.13) спрощується, і остаточно отримаємо

 

, (5.14)

. (5.15)

 

Рівняння вигляду (5.14) і (5.15) прийнято називати однорідними рівняннями Гельмгольца, а рівняння (5.13) – неоднорідними рівняннями Гельмгольца.

В рівняннях (5.14) і (5.15) – комплексне число, яке являється сталою розповсюдження електромагнітної хвилі. В літературі цю величину називають хвильовим числомабо фазовою сталою. В подальшому ця величина буде розглянута детальніше.

На підставі рівнянь (5.14) і (5.15) можна зробити важливий висновок теорії Максвела – зміна в часі електричного і магнітного полів неминуче призводить до розповсюдження в просторі електромагнітних хвиль з деякою сталою частотою.

В координатній формі рівняння Гельмгольца, наприклад, (5.14) записується слідуючим чином

 

. (5.16)

 

Розв’язок системи (5.16) значно спрощується, якщо поле не має яких-небудь складових, наприклад, , а також, коли поле стале в будь-яких площинах, наприклад,

 

(5.17)