Електродинаміка та поширення радіохвиль. Частина 2

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

 

 

Л.М. Логачова, В.П. Дмитренко

 

 

К О Н С П Е К Т

“Електродинаміка та поширення радіохвиль” Частина 2  

Зміст

 

 

5 Хвильові рівняння. Електродинамічні потенціали.....................
5.1 Хвильові рівняння (рівняння Гельмгольця)........................
5.2 Векторний та скалярний потенціали. Вектор Герця...........
6 Плоскі електромагнітні хвилі......................................................
6.1 Загальні властивості плоских електромагнітних хвиль.....
6.2 Плоскі хвилі в різноманітних однорідних ізотропних середовищах........................................................................
6.3 Поляризація електромагнітних хвиль.................................
7 Хвильові явища на межі розділу двох середовищ.....................
7.1 Нормальне падіння плоскої електромагнітної хвилі на діелектричний напівпростір...............................................
7.2 Однорідна плоска хвиля, що розповсюджується у довільному напрямку..........................................................
7.3 Падіння плоскої електромагнітної хвилі на діелектричний на півпростір під довільним кутом....................................
7.4 Кут Брюстера.......................................................................
7.5 Явище повного внутрішнього відбиття...............................
7.6 Імпедансні граничні умови (умови Леонтовича)................
7.7 Повне відбиття і напрямлені хвилі......................................
7.8 Плоскопаралельний хвилевід..............................................
Перелік посилань............................................................................
Додаток А. Деякі відомості з векторного аналізу.........................
Додаток Б. Матеріали для хвилеводних пристроїв.......................

 

Перелік скорочень

 

 

ЕМП – електромагнітне поле

ЕЕМП – енергія електромагнітного поля

 

Хвильові рівняння. Електродинамічні потенціали

  5.1 Хвильові рівняння (рівняння Гельмгольця)  

Векторний та скалярний потенціали. Вектор Герца

Хвильові рівняння (5.13), отримані в (5.1) застосовуються для визначення векторів електромагнітного поля, як правило, у випадку, якщо відсутні… Тому в електродинамці, для спрощення розв’язку практичних задач, вводять… Такі допоміжні функції називаються електродинамічними потенціалами (скалярний потенціал , векторний потенціал ).

Плоскі електромагнітні хвилі

 

 

Загальні властивості плоских електромагнітних хвиль.

В рівняння Гельмгольца (5.14), (5.15) вектори і входять однаковим чином. Тому повинні бути однаковими розв’язки цих рівнянь. Вектори і зв’язані… Хвильові гармонійні процеси характеризуються амплітудою, частотою (періодом) і…  

Параметр в загальному випадку комплексна величина

(6.11)   і називається хвильовим числом.

Плоскі хвилі в різноманітних однорідних ізотропних середовищах.

Використовуючи приведені загальні властивості плоскої хвилі в 6.1, отримаємо характеристики розповсюдження плоских хвиль в деяких найбільш важливих… Електромагнітна хвиля в напівпровідному середовищі. Для аналізу розповсюдження…  

Фазова швидкість

(6.46)   Групова швидкість розраховується по формулі, яка відома з фізики:

Фазова швидкість

 

, (6.50)

 

де – швидкість світла в вакуумі.

Таким чином, не залежить від частоти і дорівнює швидкості світла, отже, вакуум являється недиспергуючим середовищем.

Групова швидкість

.   Отже, в вакуумі дорівнює :

Характеристичний опір

, (6.58)   якщо m=1, то

Фазова швидкість

 

(6.63)

 

Групова швидкість

 

(6.64)

 

тобто

 

(6.65)

 

Характеристичний опір

(6.66) З (6.66) видно, що із збільшенням , модуль зменшується, і в даному середовищі…  

Поляризація електромагнітних хвиль.

 

Електромагнітна хвиля має векторний характер. Для її повної характеристики необхідно крім амплітуди, фази і частоти вказати поляризацію хвилі, тобто напрямлення векторів і в просторі. Для плоскої хвилі треба знати напрямок векторів і в площині хвильового фронту за період коливання. Взявши за основу падаючу хвилю, визначимо можливі випадки поляризації плоских хвиль.

З виразів (6.14) і (6.15) запишемо і компоненти падаючої хвилі:

 

(6.72)

 

Сталі і – комплексні величини, тобто

 

(6.73)

 

В середовищі з втратами – величина комплексна, тому складові і запишуться у вигляді

 

(6.74)

 

Перейдемо від комплексів до миттєвих значень:

 

(6.75)

 

(6.76)

 

Введемо позначення:

 

(6.77)

 

Тоді розділивши (6.75) на , а (6.76) на і скориставшись позначення (6.77), отримаємо

 

(6.78)

 

(6.79)

 

Визначимо з (6.78) співмножник :

 

(6.80)

 

Перетворимо (6.79) до більш зручного вигляду, застосувавши до множника відоме тригонометричне співвідношення вигляду . Тоді (6.79) буде мати вигляд:

 

(6.81)

 

Подальше перетворення полягають в наступному:

 

(6.82)

 

(6.83)

 

З урахуванням (6.82) і (6.83) вираз (6.81) приймає вигляд:

 

, (6.84)

 

або підводячи до квадрату обидві частини цієї рівності і виконавши нескладні перетворення, отримаємо

 

(6.85)

 

Складові і вектора напруженості електричного поля можна розглядати як координати кінця вектора на площині x y. Положення цього вектора визначає характер поляризації поля. Спростимо запис (6.85), зробивши слідуючи заміни

 

(6.86)

 

Тоді (6.85) запишеться у вигляді

 

(6.87)

 

Отриманий вираз являється рівнянням кривої другого порядку в координатах і . Таким чином, в загальному випадку кінець вектора переміщується по кривій другого порядку. В аналітичній геометрії показано, що характер цієї кривої визначається знаком детермінанту:

 

(6.88)

 

Якщо детермінант більше нуля , то крива представляє собою еліпс, в конкретному випадку коло. Якщо детермінант дорівнює нулю , еліпс вироджується в пряму лінію.

Покажемо, що в залежності від співвідношення амплітуд і і початкових фаз і можна отримати різні види поляризації.

А. Еліптична поляризація. При довільних і і різниці початкових фаз рівняння (6.85) представляє собою рівняння еліпса, який розташовується в площині XOY і вписаного в прямокутник з сторонами і (рис. 6.6) при фіксованому z і змінному t. Кінець вектора переміщується по еліпсу з кутовою швидкістю , виникає еліптична поляризація. В момент часу геометричним місцем точок кінця вектора являється гвинтова лінія (спіраль) з кроком на поверхні еліптичного циліндра (рис. 6.7). З плином часу гвинтова лінія, яка визначає орієнтацію вектора переміщується вздовж z з швидкістю .

В загальному випадку при довільному співвідношенні між початковими фазами, рівняння (6.85) представляє собою еліпс, велика вісь якого нахилена під деяким кутом до осі OX (рис. 6.8):

 

(6.89)

 

де .

Для визначення степені еліптичності, вводять коефіцієнт еліптичності, якій дорівнює

 

(6.90)

 

 

 

При отримуємо лінійну поляризацію; – кругову поляризацію. Таким чином, еліптично поляризована хвиля включає в себе хвилю лінійно поляризовану і хвилю з кутовою поляризацією. З рис. 6.8 видно, що при і (випадок синфазності або противофазності складових) еліптична поляризація вироджується в лінійну. Орієнтація площини поляризації залежить від співвідношення між і (рис. 6.8), в поглинаючих середовищах , розміри еліпса при русі вздовж z зменшуються (рис. 6.7).

Б. Кругова поляризація. В цьому випадку амплітуди складових і рівні, а їх початкові фази відрізняються на . Рівняння (6.85) запишеться у вигляді

 

(6.91)

В середовищі без втрат , тоді рівняння (6.91) приймає вигляд

 

(6.92)

 

Це рівняння представляє собою рівняння кола з сталим радіусом. Виникає кругова поляризація. Кінець вектора обертається при зміні часу і z по колу. Геометричним місцем точок кінця вектора при являється гвинтова лінія на поверхні кругового циліндра.

В залежності від напрямку обертання вектора розрізняють хвилі з правою і лівою круговою поляризацією (рис. 6.9, 6.10). складові і в цьому випадку визначаються виразами:

 

(6.93)

 

так як .

 

Величина вектора при цьому залишається незмінною:

 

Кут (рис. 6.9) між віссю xі вектором в фіксованій точці простору (z) визначається співвідношенням

 

(6.94)

 

З виразу (6.94) видно, що в кожній фіксованій точці спостереження , кут лінійно зростає по закону із збільшенням , змінюючись на за час одного періоду.

Лівогвинтова поляризація: . При такій умові складові буде відставати від на кут . Результуючий вектор в точці рівномірно обертається з кутовою швидкістю в напрямку віддо (за часовою стрілкою, якщо дивитися в напрямку ), тобто в сторону складової, яка відстає по фазі; кінець вектора описує коло (рис. 6.8, а).

Але з (6.94) слідує також, що в кожний фіксований момент часу кут лінійно зменшується за законом із збільшенням координати , змінюючись на на відстані рівній . Отже, при вектор рівномірно повертається із збільшенням координати в напрямку від до (проти часової стрілки, якщо дивитися вздовж напрямку розповсюдження хвилі), роблячи один оберт на відстані . Кінці векторів , які відносяться до різних точок на осі Oz розташовані при цьому на лівогвинтовій круговій спіралі(рис. 6.8, б).

Правогвинтова поляризація: . В цьому випадку складова буде випереджати на кут . Зробивши аналогічні роздуми, що і для попереднього випадку, отримаємо, що при вектор обертається з кутовою швидкістю проти часової стрілки, тобто. від до (рис. 6.9, а). А в момент часу , вектор рівномірно повертається із збільшенням координати в напрямку від до (за часовою стрілкою, якщо дивитися вздовж напрямку розповсюдження хвилі). Кінці векторів розташовані на правогвинтовій круговій спіралі (рис. 6.9, б).

В. Лінійна поляризація. Якщо в рівнянні (6.85) , то його можна записати у вигляді

 

 

або

 

 

Звідки

 

(6.95)

 

 

Рівняння (6.95) являється рівнянням прямої лінії, нахил якої до осей визначається кутовим коефіцієнтом :

 

(6.96)

 

З цього виразу видно, що кут сталий і не змінюється за часом. В загальному випадку кут може змінюватися за часом. Отже, вектор в будь-який момент часу лежить в площині, яка проходить через вісь і складає кут з площиною ХОZ (рис. 6.9, а), якщо і т.д. і , якщо і т.д. (рис. 6.9, б). Вектор зберігає свою орієнтацію незміною, але його миттєве значення змінюється за часом з частотою . Таким чином, результуюча хвиля буде лінійно-поляризована.

Очевидно, що повертанням осей координат і відносно осі можна досягнути того, щоб вектор в новій системі координат мав тільки одну складову або (рис. 6.9, в). Будь-яку лінійно-поляризовану хвилю можна представити у вигляді суми двох хвиль з круговою поляризацією.

Нехай лінійно-поляризована хвиля розповсюджуються в напрямку осі і має вектор паралельний осі ОХ:

 

(6.97)

 

 

 

Додамо і віднімемо в правій частині в (6.95) вираз

 

 

отримаємо

 

(6.98)

 

Перша квадратна дужка в (6.96) – хвиля з правою круговою поляризацією, а друга – хвиля з лівою круговою поляризацією (рис. 6.10). Результуючий вектор в два рази перевищує амплітуду доданків, поляризованих по кругу.

При визначені поляризації хвилі розглядався тільки вектор . Очевидно, що такий же аналіз можна зробити і для вектора . В загальному випадку кінець вектора в фіксованій точці простору з плином часу також описує еліпс, подібний еліпсу вектора і повернутий відносно нього на кут (рис. 6.11).

 

Хвильові явища на межі розділу двох середовищ

При падінні плоских електромагнітних хвиль на межу розділу двох середовищ, спостерігаються такі явища, як відбиття, заломлення і поглинання. Ці…   7.1 Нормальне падіння плоскої електромагнітної хвилі на діелектричний напівпростір.

Однорідна плоска хвиля, що розповсюджується у довільному напрямку.

Відомо, що комплексні амплітуди однорідної плоскої хвилі, які розповсюджується в однорідному середовищі у напрямку , визначаються виразами   , (7.17)

Явище повного внутрішнього відбиття.

Вважаємо, що обидва контактуючі середовища – діелектрики, причому перше середовище оптично більш щільне, ніж друге, тобто або . Визначимо умови, при… З другого закону Снелліуса слідує, що кут заломлення для даного випадку більше…  

Імпедансні граничні умови (умови Леонтовича).

 

На відміну від звичайних граничних умов (розділ 3), які зв'язують значення складових поля на межі розділу в різних середовищах, імпедансні умови виражають зв'язок між складовими векторів і в одному середовищі.

Вважаємо, що друге середовище оптично більш щільне, ніж перше, тобто . Згідно з другим законом Снелліуса

 

. (7.59)

 

Це означає, що при будь-якому куті падіння хвиля в другому середовищі розповсюджується практично по нормалі до межі розділу (рис. 7.11). Отже, в цьому випадку вектори напруженості поля паралельні межі і зв'язані умовою

 

. (7.60)

 

Це відношення справедливе для будь-якої точки другого середовища, в тому числі і для межі розділу. Оскільки нормальні складові дорівнюють нулю, а тангенціальні неперервні при переході через межу, можна зробити заміну виду на , а на .

З урахуванням цього зауваження з формули (7.60) слідує, що . Остаточно, при k₂ > k₁ для дотичних складових поля в першому середовищі має місце співвідношення

 

. (7.61)

 

де

 

(7.62)

 

і називається поверхневимімпедансом, який на межі розділу з оптично дуже щільним середовищем дорівнює її характеристичному опору. Рівність (7.61) була одержана М.А. Леонтовичем при дослідженні ним розповсюдження радіохвиль. Ця умова застосовується у випадку, якщо середовища які контактують, суттєво відрізняються по параметрам (наприклад, повітря – метал). При цьому не вимагається визначати електромагнітне поле в оптично щільному середовищі. Розв'язок зводиться до задачі для одного середовища з заданим імпедансом на її межі.

Повне відбиття і напрямлені хвилі.

При повному відбитті від межі розділу відбита хвиля несе таку ж енергію, як і падаюча. На рис. 7.12 показана векторна діаграма, на якій середні… Розглянемо спочатку повне відбиття від ідеально провідної межі , . Перпендикулярна поляризація. З формул Френеля для цього виду поляризації (7.38) слідує, що в цьому випадку

Плоскопаралельний хвилевід.

З розподілу компонент векторів поля (рис. 7.13) в площині фронту, раніше розглянутих неоднорідних хвиль і в (7.8) видно, що якщо ввести ряд площин,…   , (7.79)

Перелік посилань

 

 

1. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1989. – 544 с.
2. Вольман В.И., Пименов Ю.В. Техническая электродинамика. – М.: Связь, 1971. – 487 с.
3. Красюк Н.П., Дымович Н.Д. Электродинамика и распространение радиоволн. Учебное пособие для радиотехнических вузов и факультетов. – М.: Высш. школа, 1974. – 536 с.
4. Шимони К. Теоретическая электротехника / Пер. с нем. под ред. проф. К.М. Поливанова. – М.: Мир, 1964. – 773 с.
5. Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Гос. изд. Технико-теоретической литературы, 1957. – 620 с.
6. Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники / Линейные электромагнитные процессы. – М.: Энергия, 1969. – 880 с.

 

 

Додаток А

 

Деякі відомості із векторного аналізу

А.1 Диференційні оператори і їх представлення в декартовій системі координат (x,y,z).

– Градієнт скаляра:

 

(А.1)

 

де –одиничний вектор нормалі до поверхні рівня скалярного поля; – оператор Гамільтона, який дорівнює

 

 

– Дивергенція (розходження) вектор :

 

(А.2)

 

де – потік вектора через замкнуту поверхню S; – об’єм, обмежений поверхнею .

– Ротор (вихор) вектора :

 

(А.3)

 

– Оператор Лапласа від скаляра і вектора:

 

(А.4)

 

(А.5)

 

А.2 Представлення операцій в циліндричній системі координат :

 

(А.6)

 

(А.7)

 

, (А.8)

 

 

А.3 Представлення операторів в сферичній системі координат :

 

(А.9)

 

(А.10)

 

 

(А.11)

 

А.4 Основні тотожності

 

(А.12)

А.5 Інтегральні співвідношення

– Теорема Остроградського-Гауса:

 

. (А.13)

 

– Теорема Стокса:

 

. (А.14)

 

– Теорема Гріна

 

. (А.15)

 

А.6 Диференціальні оператори другого порядку

 

(А.16)

 

– Оператор Лапласа (лапласіан) від скалярної функції ;

 

(А.17)

 

(А.18)

 

(А.19)

 

 

- лапсасіан від векторної функції .

 

А.7 Елементи векторної алгебри

– Скалярний добуток векторів

 

(А.20)

 

– Векторний добуток

 

(А.21)

 

– Змішаний (векторно-скалярний) добуток векторів

 

(А.22)

 

– Подвійний векторний добуток векторів

 

(А.23)

 

Додаток Б

 

Матеріали для хвилевідних пристроїв

 

Таблиця Б.1 Основні характеристики металів

Таблиця Б.2 Основні характеристики діелектриків Назва діелектрика Відносна діелектрична проникність Тангенс кута…