Векторний та скалярний потенціали. Вектор Герца

 

Хвильові рівняння (5.13), отримані в (5.1) застосовуються для визначення векторів електромагнітного поля, як правило, у випадку, якщо відсутні сторонні джерела, тобто коли ці рівняння однорідні – праві частини дорівнюють нулю. Якщо рівняння неоднорідні, тобто присутні праві частини, то розв’язок цих рівнянь ускладнено. Це пояснюються тим, що стороні струми і заряди входять в ці рівняння під знаком диференціальних операторів ().

Тому в електродинамці, для спрощення розв’язку практичних задач, вводять допоміжні функції, а потім через них обчислюють вектори і . Ці функції зв’язані з векторами і простими співвідношеннями, для яких праві частини рівнянь (5.13) мали не і , а самі стороні заряди і стороні струми .

Такі допоміжні функції називаються електродинамічними потенціалами (скалярний потенціал , векторний потенціал ).

У випадку гармонічних полів, рівняння Максвела мають вигляд:

 

(5.18)

 

Отримаємо рівняння для векторного потенціалу . Для цього скористаємосячетвертим рівнянням Максвела в системі (5.18). Так як дивергенція ротора будь якого вектора дорівнює нулю (), то з четвертого рівняння Максвела слідує, що вектор можна представити у вигляді ротора деякого вектора :

 

(5.19)

 

Векторну функцію називають векторним електродинамічним потенціалом.

Підставимо рівність (5.19) в друге рівняння Максвела в (5.18):

 

 

або

 

(5.20)

 

З векторного аналізу відомо, що , де – будь-яка скалярна функція. Тому можна покласти, що

 

 

звідки

 

(5.21)

 

Скалярну функцію в (5.21) називають скалярним потенціалом. Знак “мінус” в (5.21) показує, що у випадку електростатичного поля функція співпадає з звичайним виразом для електростатичного потенціалу.

Підставляємо (5.19) і (5.21) в перше рівняння Максвела в системі (5.18):

 

. (5.22)

 

Помножимо (5.22) на і скористаємося векторною тотожністю

(5.23)

 

для перетворення лівої частини рівності (5.22):

 

,

 

або

 

(5.24)

 

В вираз (5.24) входять дві невідомі функції і . Але, якщо накласти додаткову умову, яка пов’язуює потенціали і , яка називається умовою калібровки:

 

(5.25)

 

то отримуємо рівняння відносно векторного потенціалу :

(5.26)

 

Аналогічне рівняння можна отримати для скалярного потенціалу . Для цього необхідно підставити вираз для вектору з (5.21) в третє рівняння Максвела в (5.18):

 

або

 

(5.27)

 

Використовуючи умову калібровки (5.25) і тотожність , приходимо до рівняння для скалярного потенціалу :

 

(5.28)

 

Таким чином, векторний і скалярний потенціали, як і вектори і задовольняють неоднорідним рівнянням Гельмгольца. Однак праві частини рівнянь для потенціалів (5.26) і (5.28) мають більш простий вигляд.

Умова калібровки (5.25) дозволяє виразити скалярну функцію через векторний потенціал :

 

(5.29)

 

Щоб встановити зв’язок поля з джерелом випромінювання, необхідно розв’язати рівняння (5.26) і (5.28). Найдемо частині розв’язки, вважаючи функції і відомими в деякому об’ємі .

Згідно методу комплексних амплітуд множення на величину еквівалентне диференціюванню за часом , то рівняння (5.26) і (5.28) можна переписати у вигляді:

 

(5.30)

 

(5.31)

 

Щоб знайти розв’язок (5.30) і (5.31) необхідно розглянути більш просту задачу доля статичного випадку. Будемо вважати, що , а , аналогічно , . Хвильові рівняння (5.30) і (5.31) вироджуються в рівняння Пуассона [3]:

 

(5.32)

 

(5.33)

 

Розв’язки цих рівнянь детально приведені в [3]. Тут скористаємося кінцевим результатом:

 

(5.34)

 

Цими формулами можна користуватися при квазістационарних процесах тобто процесах, які повільно змінюються за часом. Якщо і швидко змінюються, то необхідно враховувати запізнювання процесу при розповсюджені. Поле в точці спостереження М буде визначатися не за значенням і в даний момент часу а більш ранніми значеннями і , де , тобто це час, за який поле розповсюдилось від джерела до точки спостереження. Якщо опустити суворе доведення розв’язку, з яким можна детально ознайомитися в [3], то розв’язки можна визначити як

 

(5.35)

 

де і зв’язані рівнянням неперервності:

 

 

Формули (5.35) називаються запізнювальними потенціалами.

Для гармонічного за часом процесу замість

 

 

під знаком інтегралів (5.35), необхідно записати

 

 

або

 

 

де – стала розповсюдження у вільному просторі.

Якщо вважать, що середовище з втратами, то в комплексній формі вирази для амплітуд запізнювальних потенціалів і будуть мати вигляд

 

(5.36)

 

(5.37)

 

де – комплексна амплітуда вектора ;

– комплексна амплітуда скалярного потенціалу ;

r – відстань від елементарного об’єму до точки спостереження М;

– комплексна стала розповсюдження.

Вирази (5.36) і (5.37) являються частинними розв’язками рівнянь (5.30) і (5.31) і представляють собою сферичні хвилі, які розходяться від джерела. Фронт хвилі – кульова поверхня, радіус якої зростає з швидкістю V.

Часто для наближених розрахунків об’ємне розподілення зарядів і струмів замінюють їх поверхневим розподілом . В цьому випадку

 

(5.38)

 

У випадку лінійного стороннього струму , комплексна амплітуда векторного потенціалу буде виражатися формулою:

 

(5.39)

 

Крім електродинамічних потенціалів і , використовують інші потенціали, наприклад, вектор Герца (). Цей вектор зв’язаний з потенціалами і співвідношеннями

 

(5.40)

 

Хвильове рівняння для комплексного вектора Герца [3] буде мати вигляд:

 

(5.41)

 

Комплексна амплітуда вектора Герца () в результаті розв’язку рівняння (5.41) буде дорівнювати

 

(5.42)