Параметр в загальному випадку комплексна величина

 

(6.11)

 

і називається хвильовим числом.

Через те, що рівняння (6.10) залежить від однієї координати z, перпендикулярної плоским хвильовим поверхням, то в (6.10) частинні похідні замінимо повними

 

. (6.13)

 

Диференційне рівняння (6.13) другого порядку для має розв’язок у вигляді суперпозиції двох частинних розв’язків виду

 

, (6.14)

 

де – довільні сталі інтегрування, які представляють собою комплексні амплітуди, наприклад, ; які визначаються з граничних умов. Підставивши розв’язок (6.14) в (6.6), отримаємо

 

, (6.15)

 

звідки

 

,

 

або

 

. (6.16)

 

Враховуючи, що , тоді (6.16) приймає вигляд

 

, (6.17)

 

де

 

. (6.18)

 

Величина вимірюється в омах і називається характеристичним опором середовища. В загальному випадку величина комплексна. В середовищі без втрат величина дійсна:

 

. (6.19)

 

Для вакууму ,

 

. (6.20)

 

Аналогічно виконавши операції, зроблені для , можна отримати розв’язок для . з (6.9) буде дорівнювати

 

, (6.21)

 

а , використовуючи (6.21) і (6.9) буде дорівнювати

 

. (6.22)

 

В середовищі без втрат (), стала розповсюдження - величина дійсна , тоді переходячи від комплексних амплітуд до миттєвих значень, знайдемо

 

(6.23)

 

де .

Вираз (6.23) описує плоску електромагнітну хвилю, причому – її амплітуда, а аргумент косинуса – повна фаза змінюється в часі і просторі, а отже, змінюється і положення фазового фронту. Залежність Ex від z в фіксований моменти часу та зображена на рис. 6.1

Знайдемо швидкість переміщення фронту хвилі, для чого зафіксуємо фазу поля і . Продиференціювавши ці рівності за часом, отримаємо

 

.

 

Звідси фазова швидкість

 

і . (6.24)

 

Таким чином, складова представляє собою суперпозицію двох незалежних одна від одної рухомих хвиль, одна з яких розповсюджується в напрямку зростаючих значень z з фазовою швидкістю , і називається падаючю, а інша – в напрямку зменшення значень z зі швидкістю – і називається відбитою.

 

Рисунок 6.1

 

Рисунок 6.2

 

Поки що, будемо розглядати тільки падаючу хвилю, тому можна записати, опускаючи знак “+”, що

. (6.25)

 

Для вакууму

 

– швидкість світла. (6.27)

 

З (6.25) слідує співвідношення, яке зв’язує хвильове число та частоту у вільному просторі

 

, (6.28)

 

враховуючи, що .

Вираз (6.28), називається сталою розповсюдження електромагнітної хвилі у вільному просторі .

Використовуючи форму запису (6.23) переходу від комплексних амплітуд до миттєвих значень складової , можна представити інші компоненти поля у вигляді

 

(6.29)

 

. (6.30)

 

Отже, електромагнітне поле (6.23) і (6.29) представляє собою суперпозицію чотирьох незалежних рухомих хвиль, які визначаються і , і , і , і . Однорідні плоскі рухомі хвилі (6.23) і (6.29) розповсюджуються вздовж осі z, яка перпендикулярна їхнім хвильовим площинам. Згідно з (6.30) вектори і цих хвиль лежать в хвильових площинах і представляють собою поперечні складові векторів поля по відношенню до напрямку розповсюдження.

Якщо, зокрема, амплітуда падаючої і відбитої хвиль рівні одна одній і дорівнюють початковій фази, то отримуємо стоячу хвилю. Наприклад, для складової:

 

,

 

використовуючи відому тригонометричну тотожність

 

,

 

отримуємо

 

. (6.31)

 

Як видно (рис. 6.3) в кожний момент часу маємо нерухому косинусоїду: її нулі не зміщуються вздовж осі z, а залишаються фіксованими. Отже, все сказане можна стисло записати рівняннями, які зв’язують компоненти поля плоскої хвилі, для середовища з втратами

 

, (6.32)

 

. (6.33)

Розповсюдження хвилі супроводжується переносом потужності. Комплексний вектор Пойнтинга має тільки дійсну частину

 

, (6.34)

де

 

. (6.35)

 

При довільному напрямку розповсюдження електромагнітної хвилі вздовж r, розв’язок рівняння Гемгольца можна записати

 

, (6.36)

 

де – радіус-вектор довільної точки спостереження;

– хвильовий вектор, перпендикулярний до хвильового фронту.