ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Разделяй и властвуй.
(Главное, нужно знать, что разделять,
чтобы потом властвовать.)

 

ПЛАН

1. Введение

2. Историческая справка.

3. Приращение аргумента и функции.

4. Задачи, приводящие к понятию производной.

5. Производная функции, заданной аналитически.

6. Таблица производных.

7. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

8. Геометрический смысл производной. Графическое дифференцирование.

9. Производная функции, заданной таблично.

10. Дифференциал функции. Приложение к приближенным вычислениям.

11. Экономический смысл производной.

12. Эластичность.

13. Заключение

 

11.1. Введение

– Слушай, а почему исчисление? Вычисление – то лучше.

– Не лучше. Приставки «из» и «ис» означают высшую степень какого-то действия: из-вержение, из-неможение, ис-коренение.

– Из-вращение, ис-кушение! Значит ис-числение

– Высшая степень вычислений.

(Из разговора студентов).

11.2. Историческая справка

Создание дифференциального и интегрального исчислений относится к концу 17 – началу 18 веков, когда на смену мрачного Средневековья пришла Эпоха Просвещения. Церковь потихоньку сдавала свои позиции, костры все реже загорались на тесных площадях европейский городов и Наука радостно раскрывала свои тайны всем, кто мог ею заниматься всерьез. Европа и Англия, Лейбниц и Ньютон, бедняк и богач стояли у истоков реки новых математических знаний. Вслед за удивительным Декартом они искали универсальный язык формул, которым можно было описать мироздание, где все текло и все менялось. Как описать изменение? И не просто изменение, а изменение одной величины под воздействием изменения другой? У них был разный путь. Если вспомнить способы задания функции: аналитический, табличный, графический.

формула	таблица	график
	… …

то подход Ньютона был аналитически-кинематическим. Он мыслил категориями физики – скоростями или быстростями и часто в роли независимой переменной у него выступало время .

Лейбниц ушел от привязки к конкретным физическим величинам. Он был геометр – его характеристический треугольник со сторонами присутствует во многих работах. Скорость изменения переменной , связанной с изменением переменной он впервые записал в виде , если и .

Но им нужна была не скорость, а мгновенная скорость, не просто приращения, а отношение бесконечно малых приращений. Наверное, они оба хотели остановит и зафиксировать мгновение. Понятие предела появилось позже, но они интуитивно чувствовали, когда бесконечно- малую величину можно считать равной нулю, а когда нельзя.

Их подход к исследованию функций остался актуальным и сейчас, потому что как и прежде человечеству необходимо знания и мгновения, и вечности.

Основополагающими терминами дифференциального исчисления являются понятия приращение – производная - дифференциал. Рассмотрим их при аналитическом, графическом и табличном способе задания функции.

11.3. Приращение аргумента и функции

Пусть дана функция и два значения ее аргумента и x. Им соответствует два значения функции и .

Определение 11.1. Разность значений

(11.1)

называется приращением аргумента в точке .

Определение 11.2. Разность значений функции

(11.2)

называется приращением функции в точке .

Разрешим равенства (11.1) и (11.2), данные в определении относительно , и :

. (11.3)

С учетом (11.3) запишем приращение в виде:

. (11.4)

Здесь и являются фиксированными постоянными значениями, а и – переменными, зависящими от . Приращение может быть различным – положительным, отрицательным или равным нулю.

Покажем, как различные приращения аргумента приводят к различным приращениям на примере.

Пример 11.1. Найти приращение , связанное с приращением для функции в общем виде и при переходе из точки в точку .

Решение. По формуле (11.4) найдем :

1. . (11.5)

2. По формуле (11.2) найдем приращение функции при

а) .

б) с другой стороны подставим в формулу (11.5)

Получили равные результаты.

Если аргументу дать отрицательное приращение , то приращение функции будет равно , т. е. равные по модулю приращения приводят к неравным по модулю приращениям функции . Это связано с нелинейностью функции.

Если функция задана графически, то ее приращения и находят из графика (рис. 11.1).