8.15. Дано чотири точки , , , . Знайти: а) рівняння прямої ; б) рівняння прямої паралельної до прямої ; в) рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої; г) рівняння площини ; д) рівняння прямої перпендикулярної до площини та координати точки їх перетину; е) відстань від точки до площини ; є) кут між прямою і площиною ; ж) кут між координатною площиною і площиною .
Розв’язок. а) рівняння прямої складемо, використовуючи рівняння (8.12) – прямої, що проходить через дві точки:
або
– канонічне рівняння прямої, .
б) Щоб записати рівняння прямої паралельної до прямої , використаємо канонічні рівняння (8.5) прямої в просторі, що проходить через точку паралельно до вектора , так як , а , то і . Отримаємо:
.
в) Щоб записати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до прямої , використаємо рівняння (8.1) площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора . Так як і пряма перпендикулярна до шуканої площини, то і вектор перпендикулярний до цієї площини, тому в якості нормального вектора візьмемо вектор . Отримаємо:
або .
г) Щоб записати рівняння площини , використаємо рівняння (8.15) площини, що проходить через три точки:
або – загальне рівняння площини, .
д) Щоб записати рівняння прямої , перпендикулярної до площини , скористаємось рівняннями (8.5). Напрямний вектор прямої перпендикулярний до площини , а отже , тому візьмемо . Отримаємо: .
Знайдемо координати точки перетину прямої і площини . Для цього розв’яжемо систему їх рівнянь, записавши рівняння прямої в параметричній формі:
Таким чином, .
е) Відстань від точки до площини знайдемо за формулою (8.23):
.
є) Знайдемо кут між прямою і площиною .
Запишемо рівняння прямої як рівняння прямої, що проходить через дві точки: або – канонічне рівняння прямої, .
Для знаходження шуканого кута скористаємося формулою (8.22):
, .
ж) Знайдемо кут між координатною площиною і площиною .
Рівняння площини – , .
Для знаходження шуканого кута застосуємо формулу (8.17):
,
. t
8.16. Знайти кут між прямими , .
8.17. Знайти проекцію точки на площину
8.18. Знайти рівняння площини, що проходить через пряму паралельно прямій
8.19. Знайти рівняння площини, що проходить через дві паралельні прямі:
і