Еліпс, гіпербола, парабола з осями, паралельними осям координат

Розглянемо еліпс з центром в точці з осями, паралельними осям координат (рис. 9.11).

Перейдемо від системи координат до нової системи координат за допомогою паралельного переносу. При цьому початок координат перейде в точку , а осі , будуть паралельними осям , і однаково з ними направленими. Як відомо, формули перетворення координат при паралельному переносі осей координат на площині мають вигляд:

, . (9.8)

Так як нові осі координат співпадають з осями еліпса, а початок координат – з його центром, то відносно системи координат канонічне рівняння еліпса матиме вигляд:

. (9.9)

Підставивши в рівняння (9.9) замість їх вирази з (9.8), отримаємо рівняння еліпса з центром в точці з осями, паралельними осям координат:

. (9.10)

Аналогічно отримаємо рівняння гіперболи з центром в точці з осями, паралельними осям координат:

, (9.11)

якщо дійсна вісь паралельна осі , і

, (9.12)

якщо дійсна вісь паралельна осі .

Парабола з вершиною в точці задається рівнянням:

, (9.13)

якщо вісь симетрії паралельна осі , і

, (9.14)

якщо вісь симетрії паралельна осі .

Рівняння (9.10) – (9.14) є рівняннями вигляду

.

Останнє є частинним випадком загального рівняння кривої другого порядку на площині

.

Теоретичні питання

9.1. Що називається еліпсом?

9.2. Записати канонічне рівняння еліпса.

9.3. Що називається ексцентриситетом еліпса?

9.4. Що називається гіперболою?

9.5. Записати канонічне рівняння гіперболи.

9.6. Що називається асимптотою кривої?

9.7. Записати рівняння асимптот гіперболи.

9.8. Що називається ексцентриситетом гіперболи?

9.9. Що називається параболою?

9.10. Записати канонічне рівняння параболи.

9.11. Записати рівняння еліпса з центром в точці з осями, паралельними осям координат.

9.12. Записати рівняння гіперболи з центром в точці з осями, паралельними осям координат.

9.13. Записати рівняння параболи з вершиною в точці з осями, паралельними осям координат.

 

Задачі та вправи

9.1. Знайти довжини осей, координати фокусів і ексцентриситет еліпса .

9.2. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

9.3. Знайти рівняння гіперболи, що проходить через точки

і .

9.4. Знайти рівняння асимптот гіперболи та кут між ними.

9.5. Задана рівностороння гіпербола . Знайти рівняння еліпса, фокуси якого співпадають з фокусами гіперболи, якщо відомо, що еліпс проходить через точку .

9.6. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, симетричною відносно осі , якщо відстань від її фокуса до вершини дорівнює 4.

9.7. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, симетричною відносно осі , що проходить через точку .