Системи числення
Система числення – сукупність прийомів і правил зображення чисел цифровими знаками. Системи числення діляться на непозиційні і позиційні.
Непозиційні системи числення – система, в якій значення символа не залежить від його положення в числі. Прикладом непозиційної системи числення служить римська система числення (1 – I, 3 – III, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – З, 500 – D, 1000 – M). Основний недолік непозиційних систем числення – велике число різних знаків і складність виконання арифметичних операцій.
Позиційна система числення – система, в якій значення символа залежить від його місця серед цифр, що зображають число. Наприклад в числі 777, хоч цифри числа однакові, але перша цифра означає кількість сотень, друга кількість десятків і третя цифра кількість одиниць. Позиційна система числення характеризується основою.
Основа (базис) позиційної системи числення – кількість знаків або символів, що використовуються в розрядах для зображення числа в даній системі числення. Можлива безліч позиційних систем, оскільки за основу можна прийняти будь-яке ціле число.
Для позиційної системи числення із загальною основою справедлива рівність
X(q)=a n q n + a n-1 q n-1 +…+ a 1 q 1+a 0 q 0 + + a –1 q –1 +…+ a –m q –m =
,
де q – основа позиційної системи числення – ціле позитивне число; X(q) – довільне число, записане в системі числення з основою q; a i – коефіцієнт ряду (цифри системи числення); n, m – кількість цілого і дробових розрядів.
На практиці використовується скорочений запис числа
X(q) = a n a n-1 … a1a0 ,a-1 …a –m
Наприклад: 7943,2310 = =7×103+9×102+4×101+3×100+2×10-1+3×10-2;
110,1012=1×22+1×21+0×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3
Вага розряду числа в позиційній системі числення p i є відношення p i =q i/q 0=q i, де i – номер розряду в напрямку від молодших до старших.
Якщо розряд має вагу p i = q i , то наступний старший розряд буде мати вагу p i+1 = q i+1, а попередній розряд вага p i-1 = q i-1. Отже, в позиційній системі числення вага розряду визначається його положенням (позицією ) в числі.
Довжина числа – кількість розрядів (позицій) в записі числа.