Условные законы распределения

Для того, чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной случайной величины, вводится понятие условного распределения.

Условным законом распределениясоставляющей x, входящей в систему (X,Y), называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение y. Аналогично определяется условный закон составляющей Y.

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину (X,Y). Пусть возможные значения составляющих таковы: x₁,x₂,…,x_m и y₁,y₂,…,y_n. Обозначим условную вероятность того, что X примет значение x_i при условии, что Y = y_j, через P(x_i│y_j).Условная вероятность P(x_i│y_j), вообще говоря, не будет равна безусловной вероятности P(x_i).

Условным распределением составляющей X при Y = y_j называют совокупность условных вероятностей:

P(x₁│y_j), P(x₂│y_j), …, P(x_m│y_j).

Аналогично определяется условно распределение Y при X = x_i:

P(y₁│x_i), P(y₂│x_i), …, P(y_n│x_i).

Зная закон распределения двумерной дискретной величины, можно вычислить условные вероятности составляющих:

Сумма вероятностей условного распределения равна единице.

Рассмотрим теперь двумерную непрерывную случайную величину (X,Y).

Условной плотностью распределения составляющей X при заданном значении Y=y называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей Y:

Отличие условной плотности f (x│y) от безусловной плотности f₁(x) состоит в том, что функция f (x│y) дает распределение X при условии, что составляющая Y приняла значение y, а функция f₁(x) дает распределение X независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая Y.

Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y:

Свойства условных плотностей распределения:

Если условные плотности распределения случайных величин X и Y равны их безусловным плотностям, то величины X и Y являются независимыми.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины X и Y называются зависимыми.

Для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы

F(x,y) = F_l(x)F₂(y)

или

f(х,у)= f₁ (х) f2(у).

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему (маргинальныезаконы распределения).

Рассмотрим непрерывную двумерную случайную величину.

Так как , то, дифференцируя последнее выражение по х, будем иметь:

Аналогично,

Зная f(х,у), легко определяются f(х) и f(у).

Чтобы определить f(х,у) по f(х) и f(у), надо знать условные законы распределения.