Исследование взаимосвязей качественных показателей.
Качественные показатели (признаки) – это показатели, которые нельзя изменить, но с помощью которых можно сравнивать объекты между собой по степени улучшения или ухудшения этого показателя, то есть ранжировать (упорядочивать) объекты. Для оценки тесноты связей качественных признаков используются следующие показатели.
Коэффициент ассоциации (
. Он применяется для оценки тесноты связи между двумя альтернативными показателями (признаками).
Пусть провели n наблюдений за двумя признаками А и Б и получили таблицу результатов (n=
):
Таблица 2
Таблица результатов
| Признак Б | Признак А | |
| да | нет | |
| Да | 
| 
|
| Нет | 
| 
|
Для оценки тесноты связи между такими показателями вычисляют коэффициент ассоциации 
:
При этом -1
+1. Чем больше значение по модулю, тем теснее связь между показателями. При 
связь между показателями практически отсутствует.
Коэффициент контингенции (
, характеризующий тесноту связи между двумя альтернативными показателями, вычисляется по формуле:
Коэффициент контингенции изменяется в диапазоне -1
+1. При 
связь между показателями практически отсутствует.
Пример. Из 82 студентов специальности, проживающих в общежитии, научно-исследовательской работой занимаются 54. Из 169 студентов специальности, не проживающих в общежитии, НИР занимаются 65 человек. Имеется ли взаимосвязь между проживанием в общежитии и занятием научно-исследовательской работой?
Решение. Вычислим коэффициент ассоциации и коэффициент контингенции для имеющихся данных.
Имеем: 
Вывод: наблюдается средняя положительная корреляция между проживанием в общежитии и занятием НИР.
Ранговые коэффициенты Спирмена и Кендалла оценивают степень тесноты связи между двумя ранговыми (качественными, порядковыми) показателями.
Пусть имеем n объектов, которые характеризуются двумя качественными показателями A и B. Проранжируем объекты в порядке ухудшения качества по показателю А и присвоим объектам ранги 
. Затем при данном расположении объектов пропишем ранг 
по признаку B. Тогда ранговый коэффициент корреляции Спирмена вычисляется по формуле:
Допустим, что справа от 
имеется 
рангов больше, чем , а справа от 
- 
рангов больше, чем ,….., справа от 
- 
рангов больше, чем . Тогда ранговый коэффициент корреляции Кендалла вычисляется по формуле:
Оба коэффициента по модулю меньше единицы и при больших n межу значениями 
и 
наблюдается определенное соотношение /=2/3
Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена (
=0) осуществляется с использованием T – критерия Стьюдента.
Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Кендалла (
осуществляется использованием критерия, приводящего к нормальному закону распределения.
Пример. На конкурсе инвестиционных проектов 11 участников получили следующие оценки (по стобальной системе) за экологичность (экологическую безопасность) и экономическую обоснованность расчетов:
| № проекта | |||||||||||
| Экологичность | |||||||||||
| Экономическая обоснованность |
Связаны ли между собой экологичность и экономическая обоснованность расчетов?
Решение. Тесноту связи между экологичностью и экономической обоснованностью расчетов определим с помощью ранговых коэффициентов корреляции. Ранжируем участников конкурса:
| № участника | |||||||||||
Ранг за экологичность,
| |||||||||||
Ранг за экон. обосн., 
|
Вычислим ранговый коэффициент Спирмена:
Справа от имеется =7 рангов больших, чем , справа от имеется 
больших, чем . Аналогично находим:
=8, 
=7, 
, 
, 
,
,
Вычислим ранговый коэффициент Кендалла:
Оценим значимость вычисленных коэффициентов Спирмена и Кендалла при уровнях значимости a=0,01, a=0,05, a=0,1
Проверка гипотезы о значимости коэффициента ранговой корреляции Спирмена (
осуществляется с использованием T – критерия Стьюдента.
Вычислим наблюдаемое значение критерия:
Для различных уровней значимости по таблице квантилей T – критерия Стьюдента найдем критические точки.
При а=001 
=T(
;
При а=005 =T(
;
При а=0,10 =T(
;
При уровнях значимости a=0,05 и а=0,1 данные противоречат гипотезе о незначимости коэффициента Спирмена, то есть между экологичностью и экономической обоснованностью есть связь, а при уровне значимости а=0,01 нет оснований отвергать гипотезу, то есть полученный коэффициент незначим.
Проверим значимость коэффициента ранговой корреляции Кендалла (
=0). Вычислим наблюдаемое значение критерия:
Для различных уровней значимости с помощью табличной функции Лапласа найдем критические точки.
;
При а=0,01 
;
При а=0,05 
При а=0,10 
;
При уровнях значимости а=0,05 и а=0,1 данные противоречат гипотезе о незначимости коэффициента Кендалла, то есть между экологичностью и экономической обоснованностью расчетов есть связь (это характеризует качество всего проекта), а при уровне значимости а=0,01 нет оснований отвергать гипотезу и полученный коэффициент незначим.
Коэффициент конкордации – характеристика связи между несколькими признаками, измеряемыми в порядковой (ранговой) шкале.
Пусть имеется выборка объема m из генеральной совокупности объема n. X=(
, признаки (показатели) 
, которой можно измерить в порядковой шкале.
Имеем 
– ранги i-того наблюдения (члена) вариационного ряда j-того признака (j=1,2…..n; j=1,2…..m).
Если при ранжировании имеются совпадающие наблюдения, например, подряд в вариационном ряду идут l одинаковых значений признака 
, то вместо обычных рангов, определяемых в вариационном ряду, приписывают каждому из этих одинаковых значений одно и то же число, равное средней арифметической их рангов.
Такие полученные ранги называют объединенными или связными, и они могут быть дробными.
Например, имеется ряд величин себестоимости продукции 2,5; 3.0; 8.5; 9.0; 9.0; 9.0; 9.5; 9.5; 9.6; 9.6. Ранги этих значений будут следующие: 1; 2; 3; 5; 5; 5; 7.5; 7.5; 9.5; 9.5.
Коэффициент конкордации (согласованности) вычисляется по формуле:
Для связных рангов вычисления производят по формуле:
где 
Здесь nl - число неразличимых элементов (рангов) в l-й группе признака X j ; M j,— число таких групп из неразличимых рангов.
Коэффициент конкордации заключен в пределах от 0 до 1.
При Rk <0.3 связь между показателями практически отсутствует.
Для проверки гипотезы о значимости коэффициента конкордации (H0 : RK = О) вычисляют 
исравнивают полученное значение с величиной 
Пример. Группа из 5 экспертов оценивает качество однотипной продукции, выпускаемой на 7 предприятиях.
Предпочтения экспертов (их ранги) представлены в таблице:
| Эксперт | Предприятия эедприятия | ||||||
Взаимосвязаны (согласуются) ли мнения экспертов? Рассчитать коэффициент конкордации и оценить его значимость.
Решение. Вычислим коэффициент конкордации по формуле:
где n = 7 - объем выборки; m = 5 - количество ранговых показателей (экспертов).
Промежуточные расчёты представлены в таблице:
| Расчетные | Предприятия | |||||||
| величины | Итого | |||||||
| ||||||||
| - 12 | - 11 | ||||||
|
Значимость коэффициента конкордации (H0 : Rk = 0) проверяется по
- распределению.
Вычислим наблюдаемое значение критерия:
Критическое значение 
найдем по таблице квантилей - распределения по заданному уровню значимости 
и числу степеней свободы v = п - 1.
Так как 
>
, то гипотезу H0 отвергаем, то есть коэффициент конкордации Rk значим. Значит, мнения экспертов по оценки качества выпускаемой продукции на предприятиях согласуются.