Нелинейные уравнения – это уравнения вида f(x)=0, где f(x) – нелинейная функция. Решение уравнения f(x)=0 сводится к поиску таких значений х* (корней уравнения), которые превращают уравнение в тождество. Различают нелинейные алгебраические уравнения и трансцендентные.
Например, нелинейное алгебраическое уравнение ax2 + вx +с =0 имеет два корня, которые могут быть действительными или мнимыми. Например, уравнение х2 + 2=0 имеет два мнимых корня х1= Ö-2 и х2= -Ö-2 .
В дальнейшем будет идти речь о вычислении только действительных корней.
Трансцендентнымназывается уравнение,если в f(x)входит хотя бы одна трансцендентная функция. Например, sin(x) –1=0;
Решение нелинейных уравнений выполняют в два этапа:
1. Этап отделения корней.
2. Этап уточнениякорней , т.е. поиск коней с заданной точностью.
Этап отделения корней
Для этого построим график заданной функции f(x)=0. В столбце А располагаем изменение аргумента, а в столбце В табулируемую функцию. Строим график. На графике выделяем границы корня и в этих границах берем начальное приближение корня (нарисовать график, выделить корни и взять начальное приближение).
Этап уточнение корня
Команда Подбор параметров
Порядок уточнения:
1. В ячейку A1вводим начальное приближение корня Х1.
2. В ячейку В1вводим формулу с заданной функцией.
3. Выполняем команды Сервис, Подбор параметра. Появляется окно Подбор параметра(рис. 7.7).
4. В поле "Установить в ячейке" записать адрес первой формулы (можно снять окно и щелкнуть ячейку В1, затем восстановить окно).
5. В поле "Значение" установить 0.
6. В поле "Изменяя значение ячейки" установить адрес А1 (снять окно и щелкнуть А1).
7. Щелкнуть ОК. Появляется окно Результат подбора параметра (рис. 7.8), а в ячейке А1 будет уточненное значение корня.
7.5. Вычисления по итерационным формулам
Итерационной называется формула типа yi+1 = f (yi) . Пример1. Вычисление задано итерационной формулой yi+1=(x/yi2 +2yi)/3
Начальное приближении у0=1 и значение х= 27.
Составим ЭТ для вычисления:
1. В ячейку a2запишем значение х равное 27(рис. 7.9).
2. В ячейку b2запишем значение у0 равное 1.
|
|
Пример 2. Заданы итерационные формулы
x i =2xi-1 и yi= xi-1 + 3yi-1при измененииi=2,3,4,5.
При i=2 х2 = 2х1и y2= x1 + 3y1
Начальные значения x1=1 ; y1=1 (рис. 7.10) запишем в В2 и С2 соответственно. В ячейки В3 и С3 запишем формулы для х2 и у2 . Выделяем В3:С3 и копируем вниз до С6. Результат вычисления на рис. 7.11.
|
|
Пример 3.
Решение задач следующего типа:
Даны действительные числа у1, у2,…у5, которые записаны в В2:В6
Составить ЭТ для вычисления
и определения min(z12, z22, …,z52) при i=1,2,…,5