Преобразование матрицы ЦКП к ортогональному виду
Недостаток приведённых выше матриц ЦКП заключается в том, что они не ортогональны.
Ортогональность – это свойство матрицы планирования, которое обеспечивает возможность независимой оценки всех коэффициентов математической модели объекта. Причем ортогональная матрица позволяет после проведения опытов очень просто вычислить любой коэффициент: нужно почленно перемножить столбец матрицы, имеющий одноименный с вычисляемым коэффициентом индекс, и столбец с результатами опытов, сложить эти произведения и сумму разделить на число опытов.
Правило проверки ортогональности матрицы: сумма почленных произведений любых двух столбцов должна равняться нулю.
Нетрудно видеть, что для приведённых выше матриц это условие не соблюдается при перемножении столбца Х0 с квадратичными столбцами, а также при перемножении квадратичных столбцов друг с другом.
Однако, этот недостаток можно устранить и сделать матрицу ЦКП ортогональной. Для этого надо преобразовать квадраты факторов 
и специальным образом выбрать величины звёздного плеча α.
Вместо квадратичных переменных нужно ввести в матрицу новые переменные: 
где 
- среднее значение квадратичного столбца исходной матрицы. Введение новых переменных обеспечивает ортогональность столбца X0 с преобразованными квадратичными столбцами.
Для определения условия ортогональности преобразованных квадратичных столбцов между собой, необходимо почленно перемножить эти столбцы и сумму произведений приравнять нулю. В результате получается следующее уравнение:
4α4 + 4α2Nя – Nя(N*+1) = 0
Решая это уравнение для ЦКП с различным количеством факторов, можно найти численные значения звёздного плеча α, обеспечивающие ортогональность соответствующих матриц:
| Число факторов k | ||||
| Число опытов в ядре плана | ||||
| Число звёздных точек | ||||
| Звёздное плечо α | 1,215 | 1,414 | 1,547 |
Рассмотрим применение этого приёма для объекта с двумя факторами (k=2). Обратившись к соответствующей матрице ЦКП, нетрудно подсчитать средние значения квадратичных столбцов при α = 1:
Новые переменные: 
Подставив значения новых переменных вместо квадратичных столбцов, получим преобразованную ортогональную матрицу:
| № | X0 | X1 | X2 | X1·X2 | 
| 
| Части ЦКП |
| +1 | +1 | +1 | +1 | +1/3 | +1/3 | Ядро Nя = 2k | |
| +1 | -1 | +1 | -1 | +1/3 | +1/3 | ||
| +1 | +1 | -1 | -1 | +1/3 | +1/3 | ||
| +1 | -1 | -1 | +1 | +1/3 | +1/3 | ||
| +1 | +1 | +1/3 | -2/3 | Звёздные точки N* = 2k | |||
| +1 | -1 | +1/3 | -2/3 | ||||
| +1 | +1 | -2/3 | +1/3 | ||||
| +1 | -1 | -2/3 | +1/3 | ||||
| +1 | -2/3 | -2/3 | Центр |
Теперь выполним преобразование матрицы к ортогональному виду для объекта с тремя факторами.
Обратившись к соответствующей матрице ЦКП, подсчитаем средние значения квадратичных столбцов при α=1,215:
Новые переменные:
Подставив значения новых переменных вместо квадратичных столбцов, получим преобразованную ортогональную матрицу:
| № | X0 | X1 | X2 | X3 | X1·X2 | X1·X3 | X2·X3 |
|
| 
|
| +1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 | +1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | |
| +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | +1 | -1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | |
| +1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | |
| +1 | +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | |
| +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | |
| +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | |
| +1 | -1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | |
| +1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | +1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | |
| +1 | +α | 0,746 | -0,73 | -0,73 | ||||||
| +1 | -α | 0,746 | -0,73 | -0,73 | ||||||
| +1 | +α | -0,73 | 0,746 | -0,73 | ||||||
| +1 | -α | -0,73 | 0,746 | -0,73 | ||||||
| +1 | +α | -0,73 | -0,73 | 0,746 | ||||||
| +1 | -α | -0,73 | -0,73 | 0,746 | ||||||
| +1 | -0,73 | -0,73 | -0,73 |
Следует помнить, что ортогональность рассмотренных квадратичных матриц достигнута путём подстановок новых переменных. Поэтому, после проведения опытов и вычисления квадратичных коэффициентов с помощью соответствующих столбцов ортогональной матрицы, нужно будет при написании модели объекта эти квадратичные коэффициенты умножать на указанные ранее выражения.
Затем следует раскрыть скобки, постоянные составляющие сложить с коэффициентом b0 , оставив квадратичные члены c получившимися при раскрытии скобок числовыми значениями.