Решение оптимизационной задачи методом Парето

Пусть первым критерием будет квадрат второй собственной частоты, а вторым – половина динамической массы машины:

К₂=m;

Если перемножить критерии, получится уравнение семейства гипербол в пространстве критериев:

К₁ · К₂ = С₁ + 2С₀

Крайними в этом семействе будут гиперболы, соответствующие крайним значениям жёсткостей С₁ и С₀: и

Эти кривые образуют две границы области допустимых состояний объекта. Другие две границы образованы крайними значениями массы m.

Рассмотрим варианты расположения оптимальной точки.

Может ли быть оптимальной некоторая точка N, расположенная внутри области возможных состояний объекта АВСD?

Если спроектировать её влево до границы AD, получим точку P , которая будет предпочтительнее точки N, поскольку ей соответствует такое же значение критерия К₂, но критерий К₁ будет лучше.

Если спроектировать её вниз до границы AD, получим точку Q , которая тоже будет предпочтительнее точки N, поскольку ей соответствует такое же значение критерия К₁, но критерий К₂ будет лучше.

В точке R оба критерия будут лучше, чем в точке N.

Вывод: оптимальные решения лежат не внутри области возможных состояний объекта, а на одной из его границ.

При заданном направлении оптимизации (К₁ → min; К2 → min) все оптимальные точки расположены на границе AD.

В каком именно месте этой границы? Ответ на этот вопрос зависит от степени предпочтения (сравнительной важности) критериев:

- если снижение частоты важнее, чем уменьшение массы – оптимальная точка должна располагаться ближе к точке A.

- если уменьшение массы важнее, чем снижение частоты – оптимальная точка должна располагаться ближе к точке D.

Если степень предпочтений задана (например, методом экспертных оценок установлено, что уменьшение частоты в 2 раза важнее, чем уменьшение массы), можно определить точное расположение оптимальной точки следующим образом.

Допустим, мы перемещаемся вдоль границы области возможных состояний объекта из точки 1 в точку 2, и при этом частота уменьшается на 10%. Поскольку критерии противоречивы, это перемещение вызовет увеличение массы, причём в соответствии с принятой степенью важности можно допустить, что оно будет составлять 20%.

Это условие можно выразить пропорцией:

из которой следует: m ₁+2ω₁= m ₂+2 ω₂

Геометрически это соответствует семейству прямых:

m + 2ω = idem. Если мы выберем ту из них, которая является касательной к границе области возможных состояний объекта, мы получим решение, соответствующее принятой степени предпочтения критериев (на рисунке это точка F).

Резюме: практическое применение оптимизирующих методик в процессе проектирования и испытаний новой техники требует от специалистов дополнительных теоретических знаний и практических навыков, однако игра стоит свеч, поскольку оптимизация характеристик способствует повышению качества и конкурентоспособности оборудования.