Математичне моделювання розповсюдження забруднювачів у водному середовищі

 

Стаціонарна модель молекулярної дифузії без джерел і перетворень

Розповсюдження стічних вод у відкритих водних потоках описується рівнянням:

(10.1)

де – компоненти швидкості течії в напрямках координат x, y, z;

– коефіцієнти турбулентної дифузії в напрямках координат x, y, z;

С – концентрація забруднюючої речовини;

G – джерела або стоки забруднюючої речовини.

Якщо в процесі розповсюдження речовини настає рівновага, то такий процес вважають стаціонарним і приймають .

Якщо забруднення розповсюджуються в нерухомому середовищі (озері видовженої форми), то стаціонарна модель цього процесу за відсутності в системі джерел і самоочищення описується рівнянням:

(10.2)

Даний процес будемо розглядати на кінцевому проміжку розповсюдження забруднень від точки х₁ до х₂.

Після подвійного інтегрування рівняння (10.2) одержимо:

(10.3)

 

, (10.4)

Де А і В – поки що невідомі параметри.

Для визначення параметрів А і В скористаємося граничними умовами, які можуть бути задані в 3 варіантах.

1. Відомі значення концентрацій забруднення на границях ділянки (озера), де розповсюджуються забруднення:

, (10.5)

де С₁ – концентрація забруднених стоків у точці х₁, С₂ - – концентрація забруднених стоків у точці х₂.

Підставивши (27) у (24) одержимо:

(10.6)

Почленно віднімемо рівняння (10.6):

(10.7)

Звідки

(10.8)

Підставимо (10.8) у перше рівняння (10.6):

(10.9)

Отже підставивши (10.9) і (10.8) у (10.4) одержимо розв’язок у вигляді:

 

(10.10)

Для спрощення формули (10.10) покладемо х₁=0, х₂=l (l – відстань від точки х₁ до х₂). Тоді одержимо:

(10.11)

1. Якщо концентрацію забруднень у стічних водах позначити через С_з, а концентрацію забруднень в кінці озера через С_в, то формула (10.11) матиме вигляд:

(10.12)

Формула (10.12) є шуканою математичною моделюю стаціонарного процесу розповсюдження забруднень в озері у функціональній формі.

2. В точці скидання стічних вод відома концентрація і градієнт забруднень:

(10.13)

Підставивши (10.13) у (10.4) отримаємо:

(10.14)

Таким чином математична модель набуде вигляду:

(10.15)

3. Якщо градієнт забруднень заданий у кінцевій точці х=l, то математична модель матиме вигляд (10.15).

Використовуючи (10.15) можна знайти таку точку х₀ на ділянці розповсюдження забруднень, в якій вода буде чистою (С=0):

(10.16)