Математична модель динаміки популяції Томаса Мальтуса

Перша мат модель динаміки популяцій була запропонована Томасом Мальтусом в 1778 р. Першочергово вона стосувалася народонаселення Землі, а пізніше була узагальнена на будь-яку популяцію.

Нехай N(t) – чисельність популяції в момент часу t. Функцією приросту R(t) наз. Відносну зміну чисельності за час :

(11.1).

Якщо приріс популяції сталий, тобто , то закон, що управляє динамікою в моделі Мальтуса матиме вигляд:

 

(11.2)

Перейшовши до границі по отримаємо звичайне диференціальне рівняння:

(11.3)

 

Для знаходження єдиного розв’язку рівняння (11.3) задамо початкову умову:

, (11.4)

Де N₀ – чисельність популяції в початковий момент часу t=t₀.

Рівняння (11.3) розв’яжемо ментодом розділення змінних:

 

(11.5)

(11.6)

(11.7)

Звідки (11.8)

Підставимо початкову умову (11.4) в загальний розв’язок (11.8):

, (11.9)

Отже,

(11.10)

Для визначення коефіцієнта r (питомої швидкості розмноження) прологарифмуємо (11.10):

(11.11)

(11.12)

Отриманий розв’язок (10) за моделлю Мальтуса передбачає необмежене зростання чисельності популяції по експоненціальному закону і добре описує розмноження колоній деяких бактерій до виснаження культурального середовища (їжа). Графік цієї функції наз. кривою зростання (розмноження) популяції (рис.11.1).

Рис.11.1 – Крива зростання чисельності популяції за експоненціальним законом

З іншого боку, питому швидкість розмноження – параметр r – можна біологічно інтерпретувати як різницю між питомою швидкістю народження b і питомою швидкістю смертності d

(11.13)

Показник r часто використовують для кількісної характеристики репродуктивної пристосованості організмів у генетичному розумінні і наз. біотичним потенціалом, тобто цей показник характеризує вроджену властивість організмів до розмноження та виживання. За природних умов у короткочасні періоди, коли мається достатньо їжі, відсутні скупченість і хижаки-вороги, для популяції часто проявляється експоненціальний характер зростання чисельності. За таких умов уся популяція зростає з величезною швидкістю, хоча при цьому кожен організм розмножується з постійною швидкістю. Проте, сприятливі для розмноження умови не можуть в природі довго існувати через вплив навколишнього середовища, присутність хижаків та інших несприятливих для життя тієї чи іншої популяції факторів. Взаємодія популяції з іншими та вплив зовнішнього середовища значно зменшує швидкість розмноження. Зокрема, якщо питома швидкість смертності d перевищує питому швидкість народження b, то величина буде від’ємною і розв’язок рівняння (11.5) запишеться у вигляді:

(11.14)

Графік функції (11.14) буде спадним з асимптотою N=0 (рис.11.1 пунктир).

В природі необмежене зростання неможливе, так як стримуючі фактори присутні завжди. Чисельність популяції, як правило, відчуває невеликі коливання відносно деякої величини.