Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно.
Если , рациональная дробь называется правильной, в противном случае –неправильной.
Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.
Например, –неправильная рациональная дробь. Выполним деление:
| ||||
| ||||
| ||||
| ||||
| остаток |
Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби:
.
Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:
| , |
где A, B, C, a, p, q–числа,
Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.
Дробь 1–го типа:
Дробь 2–го типа:
Дробь 3–го типа: =[выделим в знаменателе полный квадрат и введем новую переменную: ; ]= =[разобьем интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых вычислим подведением под знак дифференциала, второй–табличный]=
Дроби 4–го типа интегрируются с помощью специальной рекуррентной формулы, которую мы рассматривать не будем.
Если правильная дробь не является простейшей, ее представляют в виде суммы простейших дробей.(См Гл.I, §2, 30)
Пример. .
Подынтегральная функция–правильная рациональная дробь. Представим ее в виде суммы простейших дробей, учитывая, что
приведем к общему знаменателю сумму дробей, стоящих в правой части:
приравняем числители дробей:
при получим:
при получим:
приравняем коэффициенты при
приравняем свободные члены:
Тогда
Вычислим последний интеграл, введя новую переменную:
Следовательно,