Функции двух и трех переменных как функции точки

Функции двух и трех переменных как функции точки

Геометрическое изображение функции двух переменных с помощью поверхностей и линий уровня.

Предел функции. Непрерывность в точке и в области.

Определение 1.2. Множество М, в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции, а сами х,у – ее аргументами. Обозначения: z = f(x,y), z = z(x,y). Примеры.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Введем понятие δ-окрестности точки М0 (х0 , у0) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить… где - координаты точки М0. Иногда это множество называют «шаром» в n-мерном пространстве.

Частные производные функции нескольких переменных, геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

Полный дифференциал функции нескольких переменных.

На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение… Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более… Начнем с самого понятия функции двух переменных, я постараюсь ограничиться минимумом теории, так как сайт имеет…

Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.

Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.

Обозначения:
или – вторая производная по «икс»
или – вторая производная по «игрек»
или – смешанная производная «икс по игрек»
или – смешанная производная «игрек по икс»

В понятии второй производной нет ничего сложного. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.

Для наглядности я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:

Сначала найдем смешанные производные:

Как видите, всё просто: берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».

Аналогично:

Для практических примеров справедливо следующее равенство:

Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.

Находим вторую производную по «икс».
Никаких изобретений, берем и дифференцируем её по «икс» еще раз:

Аналогично:

Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для проверки не существует.

Пример 2

Найти частные производные первого и второго порядка функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, рекомендую ознакомиться уроком Как найти производную?

При определенном опыте частные производные из примеров №№1,2 будут решаться Вами устно.

Переходим к более сложным примерам.

Пример 3

Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .

Решение: Находим частные производные первого порядка:

Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.

Дальнейшие комментарии:

(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом.

(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.

 

(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является .

(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения .

(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .

Теперь находим смешанные производные второго порядка:

 

 

, значит, все вычисления выполнены верно.

Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.

Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:

В данном случае:

 

То есть, в формулу нужно тупо просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:

 

Пример 4

Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции.

Пример 5

Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .

Решение:

(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции . С урокаПроизводная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у нас не меняется.

(2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу за знак производной, а корень представляем в нужном для дифференцирования виде.

Аналогично:

Запишем полный дифференциал первого порядка:

Пример 6

Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое

Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.

Пример 7

Найти частные производные первого порядка функции .

(1) Используем правило дифференцирования суммы

(2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль). Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместо была дана функция – важно, что здесь произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс», а поэтому, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.

 

(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: . Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.

Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:

Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:

– А почему это ты от меня никуда не убегаешь?

– Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь!

На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:

– Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем.

Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку»).

Пример 8

Найти частные производные первого порядка функции .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.

Пример 9

Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 2: , , , ,

Пример 4: Ссылка для просмотра или скачивания ниже.

Пример 6: , ,

Примеры 8, 9:

На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпервого и второго порядка, полного дифференциала функции. Студенты-заочники, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на экзамене.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? иПроизводная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Раздобыть справочный материал можно на страницеМатематические формулы и таблицы.

Начнем с самого понятия функции двух переменных, я постараюсь ограничиться минимумом теории, так как сайт имеет практическую направленность. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами.

Пример: – функция двух переменных.

Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .

Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например, – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ, который никогда не давал списывать мой вузовский преподаватель является моим «коньком».

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.

Пример 1

Найти частные производные первого и второго порядка функции

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

Обозначения:
или – частная производная по «икс»
или – частная производная по «игрек»

Начнем с . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом).

Решаем. На данном уроке я буду приводить полное решение сразу, а комментарии давать ниже.

 

Комментарии к выполненным действиям:

(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.

Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если Вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием (сразу откусить часть балла за невнимательность).

Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.

(2) Используем правила дифференцирования , . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как константа, то – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».

(3) Используем табличные производные и .

(4) Упрощаем, или, как я люблю говорить, «причесываем» ответ.

Теперь . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменнаясчитается константой (постоянным числом).

 

(1) Используем те же правила дифференцирования , . В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку – уже константа.

(2) Используем таблицу производным элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для (да и вообще почти для любой буквы). В частности, используемые нами формулы выглядят так: и .

Итак, частные производные первого порядка найдены

Подведем итог, чем же отличается нахождение частных производных от нахождения «обычных» производных функции одной переменной:

1) Когда мы находим частную производную ,переменная считается константой.

2) Когда мы находим частную производную ,переменная считается константой.

Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной ( , либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.

Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.

Обозначения:
или – вторая производная по «икс»
или – вторая производная по «игрек»
или – смешанная производная «икс по игрек»
или – смешанная производная «игрек по икс»

В понятии второй производной нет ничего сложного. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.

Для наглядности я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:

Сначала найдем смешанные производные:

Как видите, всё просто: берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».

Аналогично:

Для практических примеров справедливо следующее равенство:

Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.

Находим вторую производную по «икс».
Никаких изобретений, берем и дифференцируем её по «икс» еще раз:

Аналогично:

Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание, так как никаких чудесных равенств для проверки не существует.

Пример 2

Найти частные производные первого и второго порядка функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, рекомендую ознакомиться уроком Как найти производную?

При определенном опыте частные производные из примеров №№1,2 будут решаться Вами устно.

Переходим к более сложным примерам.

Пример 3

Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .

Решение: Находим частные производные первого порядка:

Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.

Дальнейшие комментарии:

(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом.

(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.

 

(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является .

(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения .

(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .

Теперь находим смешанные производные второго порядка:

 

 

, значит, все вычисления выполнены верно.

Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.

Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:

В данном случае:

 

То есть, в формулу нужно тупо просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:

 

Пример 4

Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции.

Пример 5

Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .

Решение:

(1) Применяем правило дифференцирования сложной функции . С урокаПроизводная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у нас не меняется.

(2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу за знак производной, а корень представляем в нужном для дифференцирования виде.

Аналогично:

Запишем полный дифференциал первого порядка:

Пример 6

Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое

Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.

Пример 7

Найти частные производные первого порядка функции .

(1) Используем правило дифференцирования суммы

(2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль). Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместо была дана функция – важно, что здесь произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс», а поэтому, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.

 

(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: . Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.

Пример 8

Найти частные производные первого порядка функции .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.

Пример 9

Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления где-то рядом.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 2: , , , ,

Пример 4: Ссылка для просмотра или скачивания ниже.

Пример 6: , ,

 

 

Частные производные высших порядков.

, , которые являются функциями двух переменных. Их называют частными производными… Определение 1. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго…

Экстремум функции двух переменных. Необходимые условия экстремума.

Достаточные условия экстремума функции двух переменных.

  Говорят, что функция имеет максимум в точке , т.е. при , если … Говорят, что функция имеет минимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к…

Примеры решения задач

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

  Частные производные первого порядка от функции равны:  

Наибольшее и наименьшее значение функций в замкнутой ограниченной области.

1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции; 2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; 3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Условный экстремум функции двух переменных. Экономический смысл множителей Лангранжа.

 

Условный экстремум. Метод Лагранжа.

Условным экстремумом функции в точке называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и у в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи .

Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие . Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует , то, подставив в , получим функцию одной переменной . В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.

Метод множителей Лагранжа

Для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: . Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак . Если в стационарной точке , то функция имеет в данной точке условный минимум, если же , то условный максимум.

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показатьскрыть

Есть и другой способ для определения характера экстремума. Из уравнения связи получаем: , , поэтому в любой стационарной точке имеем:

Второй сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в форме . Определитель H называется гессианом функции Лагранжа. Если , то , что указывает на условный максимум. Аналогично, при имеем , т.е. имеем условный минимум функции .

Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум

  3. Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте… • Составить гессиан и определить его знак, • С учетом уравнения связи вычислить знак .

Первообразная. Неопределенный интеграл.

П. 1. Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

F'(x) = f(x).

Обозначение

 

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

 

П.2. Свойства неопределенного интеграла

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

 

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

 

3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

 

4° . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

 

П. 1. Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

F'(x) = f(x).

Обозначение

 

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

 

П.2. Свойства неопределенного интеграла

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

 

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

 

3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

 

4° . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

 

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов

 

 

Некоторые дополнительные интегралы

– гиперболический синус
– гиперболический косинус
– гиперболический тангенс
– гиперболический котангенс

 

Основные свойства неопределенного интеграла.

Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то

 

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют первообразные на промежутке X , то

 

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:

 

 

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

 

Если функция f ( x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

 

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

 

 

Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных… Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется… – Подведение функции под знак дифференциала. – Собственно замена переменной.

Метод интегрирования по частям.

И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней… Для эффективного изучения темы необходимо хорошо ориентироваться в материалах… Как всегда, под рукой должны быть: Таблица интегралов и Таблица производных. Если у Вас до сих пор их нет, то,…

Формула применяется слева направо

Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за , а что-то за .

В интегралах рассматриваемого типа завсегда обозначается логарифм.

  То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть… Следующий этап: находим дифференциал :

Интегралы от некоторых функций, содержащих трехчлен.

 

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интеграл , содержащий квадратный трехчлен в знаменателе подынтегрального выражения. Такой интеграл берут также методом подстановки, предварительно выделив в знаменателе полный квадрат. Покажем это на примерах. Пример 12. Вычислить . Решение. Преобразуем , выделяя полный квадрат по формуле . Тогда ; Пример 13. Вычислить . Решение. Преобразуем . Тогда = .

 

Интегрирование рациональных дробей.

Если , рациональная дробь называется правильной, в противном случае –неправильной. Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель… Например, –неправильная рациональная дробь. Выполним деление: – …

Интегрирование иррациональных функций.

Вот и пробил час интегралов от корней, они вас заждались! С моей точки зрения интегрирование иррациональных функций следует изучать уже при… На уроке мы разберем простейшие неопределенные интегралы от иррациональных… Итак, прошу любить и жаловать первый параграф

Случай второй

Спокойствие, только спокойствие, сейчас во всём разберемся. Пример 7 Найти неопределенный интеграл

Интегрирование тригонометрических функций.

На данном уроке мы рассмотрим интегралы от тригонометрических функций, то есть начинкой интегралов у нас будут синусы, косинусы, тангенсы и… Для успешного изучения интегралов от тригонометрических функций Вы должны… А сейчас нам потребуются: Таблица интегралов, Таблица производных и Справочник тригонометрических формул. Все…

Использование тригонометрических формул

Понижение степени подынтегральной функции (частный случай п.1)

Метод замены переменной

В рамках урока я постараюсь подробно разобрать все перечисленные методы и привести примеры решения типовых интегралов. Следует отметить, что данное…   Использование тригонометрических формул

См. конспект

См. конспект

См. КР

Определение определенного интеграла. Основные свойства.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение

 

Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками . Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произвольную точку , ,

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , то есть

 

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.

2)Определение(более легкое для запоминания):

Приращение F(b)-F(a)любой из первообразных F(x)+с называется определенным интегралом.

Обозначения

 

· — нижний предел.

· — верхний предел.

· — подынтегральная функция.

· — длина частичного отрезка.

· — интегральная сумма от функции на соответствующей разбиению .

· — максимальная длина част. отрезка.

Свойства

Если функция интегрируема по Риману на , то она ограничена на нем.

Геометрический смысл

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .

 

Теорема об интеграле с переменным верхним пределом.

  (Переменную интегрирования обозначили буквой t, переменный верхний предел -… Теорема 1. Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то функция Ф(х) непрерывна на этом отрезке.

Интегральный синус

 

Интегральный косинус

 

Интегральный логарифм

 

Интегральная показательная функция

 

Интеграл вероятностей

 

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определённого интеграла и вычислением первообразной.

Если непрерывна на отрезке и — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Замена переменной в определенном интеграле.

ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х)… Тогда справедливо следующее равенство:  

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.

Здесь новизны еще меньше. Все выкладки статьи Интегрирование по частям в неопределенном интеграле в полной мере справедливы и для определенного…   Формулу Ньютона-Лейбница здесь необходимо применить дважды: для произведения и, после того, как мы возьмем…

Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах.

а) Допустим, что фигура предполагает наличие границы

является криволинейной трапецией и , при условии, что на

Если находится ниже оси (рис. 18.1), то

Рис. 18.1

Пример:

 

 

(рис. 18.1, б).

 

 

 

б) Предположим, что для фигуры харакерно наличие границы Площадь (рис. 18.2, а),

Рис. 18.2

соответственно получаем формулу

В общем случае площадь находится с помощью формулы

 

 

 

Пример:

(рис. 18.2, б).

 

 

 

Вычисление площади плоских фигур в полярных координатах.

  На рисунке полюс изображен черной точкой, полярная ось – черным жирным лучом,… На практике очень часто полярную систему координат рассматривают вместе с прямоугольной декартовой, совмещая начала…

Площадь криволинейного сектора - вывод формулы.

Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом : ( …   Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами , что и при .

Примеры вычисления площади криволинейного сектора.

Разберемся с вычислением площади криволинейного сектора, заданного в полярной системе координат, при решении примеров.

Пример.

Вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной линией и лучами .

Решение.

Функция положительна и непрерывна на отрезке . Для наглядности изобразим фигуру в полярной системе координат.

 

Эта фигура является криволинейным сектором, и мы сразу можем применить соответствующую формулу для нахождения его площади:

Когда заданы два луча , ограничивающие фигуру, не приходится думать о пределах интегрирования при вычислении площади. Однако более распространены задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая . Как же в этом случае применять формулу ?

В таких примерах сначала следует решить неравенство , откуда становятся видны пределы интегрирования.

Замечание.

Разберем на примерах. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой в полярных координатах .

Вычисление длины дуги плоской кривой.

Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .

Для определения длины дуги необходимо вычислить определенный интеграл:

 

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

 

где . В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:

 

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах где . Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:

 

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.

  Через S(x) обозначим площадь сечения тела D плоскостью, проходящей через точку… 1) функция S(x) непрерывна на [а; b];

Объем тела вращения.

Пример 1 Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями , … Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости …

См. КР

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Несобственные интегралы бывают двух видов.   Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования

Всегда смотрим и записываем, является ли подынтегральная функциянепрерывнойна интервале интегрирования.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Выполним чертеж: Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале . Гуд. Решаем с помощью…

Если подынтегральной функции не существует в точке

Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования. В этой связи проверим и… Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного…  

Если подынтегральной функции не существует в точке

  Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел у нас стремится к… Пример 9

Интегралы от неограниченных функций.

  Аналогичным образом вводится понятие несобственного интеграла для функции,…  

Признаки сходимости несобственных интегралов.

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные понятия).

Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам. Уууууу… дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?!

Такое мнение и такой настрой в корне неверен, потому-что на самом делеДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО. Что нужно знать и уметь, для того чтобы научиться решать дифференциальные уравнения? Для успешного изучения диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной иНеопределенный интеграл, тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях. Скажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрирования, то тема практически освоена! Чем больше интегралов различных типов вы умеете решать – тем лучше. Почему? Потому что придется много интегрировать. И дифференцировать. Такженастоятельно рекомендую научиться находить производную от функции, заданной неявно.

В 95% случаев в контрольных работах встречаются 3 типа дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Начинающим изучать диффуры советую ознакомиться с уроками именно в таком порядке. Есть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и некоторые другие. Наиболее важными из двух последних видов являются уравнения в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ДУ я рассматриваю новый материал – частное интегрирование.

Сначала вспомним обычные уравнения. Они содержат переменные и числа. Простейший пример: . Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найди множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко заметить, что детское уравнение имеет единственный корень: . Для прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение:

– получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Диффуры устроены примерно так же!

Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

В некоторых случаях в уравнении первого порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек» – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.

Что значит решить дифференциальное уравнение?Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Полный боекомплект. С чего начать решение любого дифференциального уравнения первого порядка?

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение производной: . Такое обозначение производной многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным, но в диффурах рулит именно оно!

Итак, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде:

На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы и – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз. Почти всегда её приписывают в правой части.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.

Теперь нужно попробовать найти общее решение, то есть попытаться представить функцию в явном виде.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях. Когда в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда целесообразно записать тоже под логарифмом.

То есть, вместозаписи обычно пишут .

Здесь – это такая же полноценная константа, как и . Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем школьное свойство логарифмов: . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать с обеих частей:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций является общим решением дифференциального уравнения .

Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций , , и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению .

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

Многие дифференциальные уравнения довольно легко проверить. Делается это очень просто, берём найденное решение и находим производную:

Подставляем наше решение и найденную производную в исходное уравнение :

– получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Иными словами, общее решение удовлетворяет уравнению .

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях.

1) В этом примере нам удалось разделить переменные: . Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, воднородных уравнениях первого порядка, необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать, кроме того, существуют неберущиеся интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют. …тьфу, lurkmore.ru давеча начитался.

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения.

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если – это константа, то – тоже некоторая константа, которую обозначим через букву :

Запомните «снос» константы, это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:



То есть,

Стандартная версия оформления:

В общее решение подставляем найденное значение константы :
– это и есть нужное нам частное решение.

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа.

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
– да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение и находим производную:

Подставляем и в исходное уравнение :

– получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Переходим к более содержательным примерам.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.

Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:

В правой части у нас получился логарифм, согласно моей первой технической рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. Максимально «упаковываем» логарифмы. Упаковка проводится с помощью трёх свойств:

Пожалуйста, перепишите эти три формулы к себе в рабочую тетрадь, при решении диффуров они применяются очень часто.

Решение распишу очень подробно:

Упаковка завершена, убираем логарифмы:

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части. Но делать этого не нужно.

Третий технический совет: Если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и ужасно – с большими корнями, знаками .

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить общий интеграл в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора ;-)

Ответ: общий интеграл:

Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производные от функции, заданной неявно. Дифференцируем ответ:

Умножаем оба слагаемых на :

И делим на :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что задача Коши состоит из двух этапов:
1) Нахождение общего решение.
2) Нахождение частного решения.

Проверка тоже проводится в два этапа (см. также образец Примера 2), нужно:
1) Убедиться, что найденное частное решение действительно удовлетворяет начальному условию.
2) Проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение:Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы:

(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

Ответ: частное решение:

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :
– всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :

Подставим найденное частное решение и полученный дифференциал в исходное уравнение :

Используем основное логарифмическое тождество :

Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения выразим производную, для этого разделим все штуки на :

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение . Ответ представить в виде общего интеграла .

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

1) Не всегда очевидно (особенно, чайнику), что переменные можно разделить. Рассмотрим условный пример: . Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки: и отделить корни: . Как действовать дальше – понятно.

2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла, то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика «раз уж дифференциальное уравнение является простым, то пусть интегралы будут посложнее».

3) Преобразования с константой. Как все заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно делать практически всё, что угодно. И не всегда такие преобразования понятны новичку. Рассмотрим еще один условный пример: . В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2: . Полученная константа – это тоже какая-то константа, которую можно обозначить через : . Да, и коль скоро в правой части логарифм, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: .

Беда же состоит в том, что частенько не заморачиваются с индексами, и используют одну и ту же букву . И в результате запись решения принимает следующий вид:

Что за фигня? Тут же ошибки. Формально – да. А неформально – ошибки нет, подразумевается, что при преобразовании константы всё равно получается какая-то другая константа .

Или такой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл . Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому целесообразно сменить у всех множителей знаки: . Формально по записи тут опять ошибка, следовало бы записать . Но неформально подразумевается, что – это всё равно какая-то другая константа (тем более может принимать любое значение), поэтому смена у константы знака не имеет никакого смысла и можно использовать одну и ту же букву .

Я буду стараться избегать небрежного подхода, и всё-таки проставлять у констант разные индексы при их преобразовании.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Константу тут не обязательно определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.

Ответ: общий интеграл:

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):

Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 8

Найти частное решение ДУ.
,

Это пример для самостоятельного решения. Единственный комментарий, здесь получится общий интеграл, и, правильнее говоря, нужно исхитриться найти не частное решение, ачастный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока.

Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот еще парочка таких примеров для самостоятельного решения. Рекомендую всем прорешать примеры №№9-10, независимо от уровня подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождения интегралов или восполнить пробелы в знаниях.

Пример 9

Решить дифференциальное уравнение

Пример 10

Решить дифференциальное уравнение

Помните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличаться от внешнего вида моих ответов. Краткий ход решения и ответы в конце урока.

Следующая рекомендуемая статья – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Пример 4: Решение: Найдем общее решение. Разделяем переменные:


Интегрируем:



Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

Выражаем функцию в явном виде, используя .
Общее решение:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
.
Способ второй:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.
Ответ: частное решение:

Проверка: Проверяем, действительно ли выполняется начальное условие:
, да, начальное условие выполнено.
Проверяем, удовлетворяет ли вообще частное решение дифференциальному уравнению. Сначала находим производную:

Подставим полученное частное решение и найденную производную в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 6: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:




Ответ: общий интеграл:

Примечание: тут можно получить и общее решение:

Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотрится довольно хреново.

Пример 8: Решение: Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:



Интегрируем:


Общий интеграл:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . Подставляем в общее решение и :

Ответ: Частный интеграл:
В принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное.

Пример 9: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

Таким образом:


(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов, но она настолько простая, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно)

Обратная замена:



Ответ: общий интеграл:

Пример 10: Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:





Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:



Примечание: Интеграл можно было также найти методом выделения полного квадрата.





Ответ: общее решение:

Дифференциальные уравнения с однородными функциями.

В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере. Пример 1 Решить дифференциальное уравнение

В 19-ти случаях из 20-ти решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.

Почему почти всегда ответ однородного уравнения дается в виде общего интеграла? В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде… Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно: … Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл: . Это не ошибка, но в «хорошем» стиле общий…

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли.

Начнем с систематизации и повторения. На что в первую очередь следует посмотреть, когда вам предложено для решения… Если переменные в ДУ разделить не удалось, переходим к следующему этапу – проверяем, а не является ли уравнение…

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Различают три основных типа таких уравнений, которые мы последовательно рассмотрим на данном уроке. По какому принципу решаются данные уравнения?… Люди собрались опытные, большие, поэтому не будем проводить разминку с…  

Линейные однородные уравнения n-го порядка, свойства их решений.

У многих читателей может быть предубеждение, что ДУ 2-го, 3-го и др. порядков – что-то очень трудное и недоступное для освоения. Это не так.… Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка. В… Следует отметить, что некоторые из малышей (и даже все сразу) могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома…

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.

, (9) где - произвольные постоянные, является общим решением уравнения , т.… Доказательство. Мы уже знаем, что сумма (9) при любых есть решение уравнения . Пусть, обратно, есть…

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x). Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y =… − при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением…

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение инеоднородное уравнение. Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий… Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентамиимеет вид: , где и – константы, а –…

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи:

I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где - многочлен степени m.

Тогда частное решение ищется в виде:

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

 

Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

Частное решение ищем в виде: , где

Т.е.

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Итого, частное решение:

 

 

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

 

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

 

Здесь Р₁(х) и Р₂(х) – многочлены степени m₁ и m₂ соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

 

где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q₁(x) и Q₂(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m₁ и m₂.

 

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где у₁ и у₂ – частные решения вспомогательных уравнений

и

 

Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

 

Пример. Решить уравнение

 

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f₁(x) + f₂(x) = x + (-sinx).

Составим и решим характеристическое уравнение:

 

1. Для функции f₁(x) решение ищем в виде .

Получаем: Т.е.

 

Итого:

2. Для функции f₂(x) решение ищем в виде: .

Анализируя функцию f₂(x), получаем:

Таким образом,

Итого:

Т.е. искомое частное решение имеет вид:

 

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

 

Рассмотрим примеры применения описанных методов.

 

Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

 

Общее решение однородного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Частное решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного уравнения:

Пример. Решить уравнение

 

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения: .

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения: