Рассмотрим функцию y = f(x), интегрируемую на отрезке [а, b]. Если х на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, b], тогда на этом отрезке определена функция
(Переменную интегрирования обозначили буквой t, переменный верхний предел - буквой х).
Теорема 1. Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то функция Ф(х) непрерывна на этом отрезке.
Теорема 2. Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела. т.е.
Следствие 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то при любом х
Следствие 2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции.
Другими словами, для любой непрерывной функции существует первообразная.
Эти функции не являются элементарными; первообразные указанных подынтегральных функций не выражаются через элементарные функции.
Все приведенные функции хорошо изучены, для них составлены таблицы значений, эти функции находят широкое применение.
Связь между определенными и неопределенными интегралами выражает следующая теорема Ньютона - Лейбница, называемая основной теоремой интегрального исчисления.
Теорема 3. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования:
где F'(x)=f{x).
Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница; ее можно переписать в виде
левая часть второй формулы читается так: «двойная подстановка от а до b для функции F(x).
Замечание. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования используется при определении многих функций. К таким функциям относятся, например: