Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора.
Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом : ( задается в радианах).
Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами , что и при .
В силу свойств площади фигуры, площадь исходного криволинейного сектора представится суммой площадей криволинейных секторов на каждом участке разбиения .
Пусть и - наименьшее и наибольшее значение функции на i-ом отрезке . На каждом таком отрезке построим по два круговых сектора и с радиусами и соответственно.
Обозначим P и Q фигуры, являющиеся объединением круговых секторов и соответственно.
Их площади будут равны и , причем .
Так как функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке будет также непрерывна функция . Для этой функции S(P) и S(Q) можно рассматривать аналогично нижней и верхней суммам Дарбу, что приводит нас к равенству
Таким образом, площадь криволинейного сектора находится по формуле .