Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела , то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!
Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования. В этой связи проверим и верхний предел: . Здесь всё хорошо.
Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:
Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.
Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конченому числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).
Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значениюсправа.Легко проследить по чертежу: по оси мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва справа.
Посмотрим, как это реализуется на практике.
Пример 6
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)
Сначала вычислим неопределенный интеграл:
Замена:
У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле.
Вычислим несобственный интеграл:
(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: . Добавка обозначает, что мы стремимся к значению справа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называютодносторонним пределом. В данном случае у нас правосторонний предел.
(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.
(3) Разбираемся с при . Как определить, куда стремиться выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ.
В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью .
А сейчас два примера для самостоятельного решения.
Пример 7
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Пример 8
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.