На данном уроке мы рассмотрим алгоритм решения третьего типа дифференциальных уравнений, который встречается практически в любой контрольной работе – линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Для краткости их часто называют просто линейными уравнениями. Материал не представляет особых сложностей, главное, уметь уверенно интегрировать и дифференцировать.
Начнем с систематизации и повторения.
На что в первую очередь следует посмотреть, когда вам предложено для решения любоедифференциальное уравнение первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли у данного диффура разделить переменные? Если переменные разделить можно (что, кстати, далеко не всегда очевидно), то нужно использовать алгоритмы и приемы решения, которые мы рассмотрели на первом уроке – Дифференциальные уравнения первого порядка. Советую посетить этот урок чайникам и всем читателям, которые чувствуют, что их знания и навыки в теме пока не очень хороши.
Если переменные в ДУ разделить не удалось, переходим к следующему этапу – проверяем, а не является ли уравнение однородным? Проверку обычно выполняют мысленно или на черновике, с самим алгоритмом проверки и образцами решения однородных уравнений можно ознакомиться на втором уроке – Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является, то в 90% случаев перед вами как раз линейное неоднородное уравнение первого порядка.
Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид:
Что мы видим?
1) В линейное уравнение входит первая производная .
2) В линейное уравнение входит произведение , где – одинокая буковка «игрек» (функция), а – выражение, зависящее только от «икс».
3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение , тоже зависящее только от«икс». В частности, может быть константой.
Примечание: Разумеется, в практических примерах эти три слагаемых не обязаны располагаться именно в таком порядке, их спокойно можно переносить из части со сменой знака.
Перед тем, как перейти к практическим задачам, рассмотрим некоторые частные модификации линейного уравнения.
– Как уже отмечалось, выражение может быть некоторой константой (числом), в этом случае линейное уравнение принимает вид:
– Выражение тоже может быть некоторой константой , тогда линейное уравнение принимает вид: . В простейших случаях константа равна +1 или –1, соответственно, линейное уравнение записывается еще проще: или .
– Рядом с производной может находиться множитель , зависящий только от «икс»: – это тоже линейное уравнение.
Поехали.
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение
Решение: Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: .
Как решить линейное уравнение?
Существуют два способа решения. Первый способ – это так называемый метод вариации произвольной постоянной, если вас интересует именно он, пожалуйста, перейдите по ссылке. Второй способ связан с заменой переменной и подстановкой, иногда его называютметодом Бернулли. В данной статье будет рассматриваться подстановки, он алгоритмически прост и понятен, и решение уравнения принимает чёткий трафаретный характер. Рекомендую начинающим.
В который раз у меня хорошая новость! Линейное дифференциальное уравнение можно решить одной-единственной заменой:
, где и – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс».
Коль скоро проводится замена , то нужно выяснить, чему равна производная. По правилу дифференцирования произведения:
Подставляем и в наше уравнение :
В чём состоит задача? Необходимо найти неизвестные функции «у» и «вэ», которые зависят от «икс». И как раз этому будут посвящены все последующие действия.
После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах:
У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае:
Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно:
Приравниваем к нулю то, что находится в скобках: .
Если , тогда из нашего уравнения получаем: или просто .
Уравнения записываем в систему:
.
Именно в таком порядке.
Система опять же решается стандартно.
Сначала из первого уравнения находим функцию. Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными, поэтому его решение я приведу без комментариев.
Функция найдена. Обратите внимание, что константу на данном этапе мы не приписываем.
Далее подставляем найденную функциюво второе уравнение системы:
Да тут ништяк, экспоненты сокращаются, и получается диффур, даже не простейший, а для студенток муз-педа.
Из второго уравнения находим функцию.
Функция найдена. А вот здесь уже добавляем константу .
Ха. А задача-то решена! Вспоминаем, с чего всё начиналось: .
Обе функции найдены:
Записываем общее решение:
В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса:
Ответ: общее решение
Проверка выполняется по той же технологии, которую мы рассматривали на урокеДифференциальные уравнения первого порядка.
Берём полученный ответ и находим производную:
Подставим и в исходное уравнение :
Получено верное равенство, таким образом, общее решение найдено правильно.
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: Данное уравнение имеет «классический» вид линейного уравнения. Проведем замену: и подставим и в исходное уравнение :
После подстановки проведем вынесение множителя за скобки, какие два слагаемых нужно мучить – смотрите предыдущий пример. Хотя, наверное, все уже поняли:
Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в скобках: , автоматически получая и второе уравнение системы:
В результате:
.
Из первого уравнения найдем функцию :
– найденную функцию подставим во второе уравнение системы :
Теперь находим функцию . Уравнение опять получилось простенькое:
Обе функции найдены:
Таким образом:
Общее решение:
Ответ: общее решение:
Желающие могут выполнить проверку, для проверки в ответе лучше предварительно раскрыть скобки.
Пример 3
Найти общее решение дифференциального уравнения
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Если у вас возникли (или возникнут) проблемы технического характера, пожалуйста, вернитесь к первому уроку Дифференциальные уравнения первого порядка.
Как видите, алгоритм решения линейного уравнения довольно прост. В чем особенность решения линейных уравнений? Особенность состоит в том, что практически всегда в ответе получается общее решение, в отличие, например, от однородных уравнений, где общее решение хорошо выражается крайне редко и ответ приходится записывать в виде общего интеграла.
Рассмотрим что-нибудь с дробями
Пример 4
Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию
Напоминаю, что такая постановка вопроса также называется задачей Коши.
Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того, что в конце прибавится один небольшой пунктик.
Обратите внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной форме. Этого в данном случае можно не делать, но я все-таки рекомендую всегда переписывать уравнения в привычном виде :
Данное ДУ является линейным, проведем замену:
Типовой вынос за скобки:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим найденную функцию во второе уравнение системы и найдем функцию :
Здесь интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала.
Обе функции найдены, таким образом, общее решение:
На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Как находить частное решения для диффура первого порядка, мы очень подробно рассмотрели на уроке Дифференциальные уравнения первого порядка.
В данном случае:
Ответ: частное решение:
А вот проверку частного решения еще раз повторим. Сначала проверяем, действительно ли выполняется начальное условие ?
– да, начальное условие выполнено.
Теперь берём полученный ответ и находим производную. Используем правило дифференцирования частного:
Подставим и в исходное уравнение :
Получено верное равенство, значит, задание выполнено верно.
Пример 5
Найти решение задачи Коши
,
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Перейдем к рассмотрению «частных видов» линейных уравнений, о которых шла речь в начале урока.
Пример 6
Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения
,
Решение:В данном уравнении слагаемые опять не на своих местах, поэтому сначала пытаемся максимально близко приблизить диффур к виду :
Что здесь особенного? Во-первых, в правой части у нас константа . Это допустимо. Во-вторых, рядом с производной есть множитель , который зависит только от «икс». Это тоже допустимо. Из-за этих особенностей линейное уравнение не перестает быть линейным.
Алгоритм решения полностью сохраняется за исключением пары нюансов в самом начале.
Проведем замену:
Теперь следовало бы выполнить вынесение множителя за скобки. Прозвучит каламбурно, но сначала нам нужно раскрыть скобку, поскольку одно из нужных нам слагаемых недоступно:
Вот теперь проводим вынесение множителя скобки:
Обратите внимание на тот факт, что за скобки мы вынесли не только функцию , но еще и «икс». Всё,что можно вынести за скобки – выносим.
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение системы:
Таким образом, общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Пример 7
Найти частное решение ДУ
,
Это пример для самостоятельного решения.
Какие трудности встречаются в ходе решения линейного уравнения? Основной камень преткновения состоит в том, что может появиться довольно сложный интеграл. Как правило, неприятный интеграл появляется при нахождении функции (в то время как с нахождением функции обычно проблем не возникает).
Рассмотрим пару примеров с такими интегралами.
Пример 8
Найти общее решение ДУ
Решение: Сначала приводим линейное уравнение к родному виду :
Уравнение кажется простым, но, как я уже отмечал, впечатление может быть обманчивым. Не редкость, когда «страшный» диффур на самом деле оказывается несложным, а «легкий» на вид диффур вызывает мучительную боль за бесцельно прожитые часы.
Проведем замену:
Составим и решим систему:
.
Из первого уравнения найдем :
– подставим найденную функцию во второе уравнение:
Такой интеграл, кстати, еще нигде не встречался в моих уроках. Он берется по частям. Вспоминаем формулу интегрирования по частям: . Но, вот незадача, буквы и у нас уже заняты, и использовать те же самые буквы в формуле – не есть хорошо. Что делать? Используем ту же формулу, но с другими буквенными обозначениями. Можно выбрать любые другие буквы, я привык записывать правило с «а» и «бэ»:
Интегрируем по частям:
Если возникли трудности или недопонимание, освежите знания на уроках Метод замены переменной и Интегрирование по частям.
Таким образом:
Ответ: общее решение:
Давненько я не вспоминал интегрирование по частям, даже ностальгия появилась. А поэтому еще один пример для самостоятельного решения. Какой пример? Конечно же, с логарифмом! Ну а чего еще от меня можно было ожидать? =)
Пример 9
Найти общее решение дифференциального уравнения
В предложенном примере проявлена небольшая вольность для любознательных фанатов матана. Нет, алгоритм остался точно таким же, просто я сразу начал решать диффур, не перенеся предварительно в правую часть. Полное решение и ответ в конце урока.
В моей коллекции есть уравнения и с более трудными интегралами, но сейчас речь идет о дифференциальных уравнениях. В этой связи я намеренно не включил в урок такие задачи, все-таки интегралы изучаются в другой теме.
Пример 3: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение системы:
Таким образом:
Ответ: общее решение:
Пример 5: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, замена:
Составим и решим систему:
.
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение системы:
Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Пример 7: Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным, замена:
(раскрыли только левые скобки!)
Составим и решим систему:
.
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
(Примечание: здесь использовано основное логарифмическое тождество: ).
Таким образом, общее решение:
Найдем частное, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ: частное решение:
Пример 9: Решение: Данное ДУ является линейным, проведем замену:
Решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Интегрируем по частям:
Таким образом:
Ответ: общее решение: