Кроме распространенных однородных и неоднородных уравнений второго порядка и высших порядков с постоянными коэффициентами, рядовому студенту часто приходится сталкиваться с другим достаточно обширным классом диффуров: дифференциальными уравнениями, допускающими понижение порядка.
Различают три основных типа таких уравнений, которые мы последовательно рассмотрим на данном уроке. По какому принципу решаются данные уравнения? Старо, как второй том матана – уравнения, допускающие понижение порядка, в конечном итоге сводятся кдифференциальным уравнениям первого порядка и интегрируются с помощью методов, которые вы уже должны знать из моих статей.
Люди собрались опытные, большие, поэтому не будем проводить разминку с перекидыванием резинового мячика из рук в руки, а сразу перейдем к делу. Но и чайники тоже могут присоединиться, я не выгоняю за дверь, а ставлю ссылки на темы, по которым у вас есть пробелы.
Метод повторного интегрирования правой части
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , где – производная «энного» порядка, а правая часть зависит только от «икс». В простейшем случае может быть константой.
Данное дифференциальное уравнение решается последовательным интегрированием правой части. Причём интегрировать придется ровно раз.
На практике наиболее популярной разновидность является уравнение второго порядка: . Дважды интегрируем правую часть и получаем общее решение. Уравнение третьего порядка необходимо проинтегрировать трижды, и т.д. Но диффуров четвертого и более высоких порядков в практических заданиях что-то даже и не припомню.
Пример 1
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: Данное дифференциальное уравнение имеет вид .
Понижаем степень уравнения до первого порядка:
Или короче: , где – константа
Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:
Ответ: общее решение:
Проверить общее решение такого уравнения обычно очень легко. В данном случае необходимо лишь найти вторую производную:
Получено исходное дифференциальное уравнение , значит, общее решение найдено правильно.
Пример 2
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения. Как я уже где-то упоминал, иногда диффур может быть подшифрован. В предложенном примере сначала необходимо привести уравнение к стандартному виду . Решение и ответ в конце урока.
Нахождение частного решения (задача Коши) имеет свои особенности, которые мы рассмотрим в следующих двух примерах:
Пример 3
Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям
, ,
Решение:Данное уравнение имеет вид . Согласно алгоритму, необходимо последовательно три раза проинтегрировать правую часть.
Сначала понижаем степень уравнения до второго порядка:
Первый интеграл принёс нам константу . В уравнениях рассматриваемого типарационально сразу же применять подходящие начальные условия.
Итак, у нас найдено , и, очевидно, к полученному уравнению подходит начальное условие .
В соответствии с начальным условием :
Таким образом:
На следующем шаге берём второй интеграл, понижая степень уравнения до первого порядка:
Выползла константа , с которой мы немедленно расправляемся. Хах. Комментирую пример, а в голове возникла ассоциация, что я злой дед Мазай с одноствольным ружьём. Ну и действительно, константы отстреливаются, как только покажут уши из-под интеграла.
В соответствии с начальным условием :
Таким образом:
И, наконец, третий интеграл:
Для третьей константы используем последний патрон :
Зайцы плачут, заряды были с солью.
Ответ: частное решение:
Выполним проверку, благо, она ненапряжная:
Проверяем начальное условие :
– выполнено.
Находим производную:
Проверяем начальное условие :
– выполнено.
Находим вторую производную:
Проверяем начальное условие :
– выполнено.
Найдем третью производную:
Получено исходное дифференциальное уравнение
Вывод: задание выполнено верно
Наверное, все обратили внимание на следующую вещь: каков порядок уравнения – столько и констант. Уравнение второго порядка располагает двумя константами , в уравнении третьего порядка – ровно три константы , в уравнении четвертого порядка обязательно будет ровно четыре константы и т.д. Причем, эта особенность справедлива вообщедля любого диффура высшего порядка.
Пример 4
Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям
, ,
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Время от времени в дифференциальных уравнениях рассматриваемого типа приходится находить более трудные интегралы: использовать метод замены переменной,интегрировать по частям, прибегать к другим ухищрениям. Я намеренно подобрал простые примеры без всяких замысловатостей, чтобы больше внимания уделить именно алгоритму решения.
В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция
Простейшее уравнение данного типа в общем виде выглядит так:
– всё есть, а «игрека» нет. Точнее, его нет в явном виде, но он обязательно всплывёт в ходе решения.
Кроме того, вместе с «игреком» в явном виде может отсутствовать первая производная:
– это уже уравнение третьего порядка.
Может дополнительно отсутствовать и вторая производная:
– уравнение четвертого порядка.
И так далее. Думаю, все увидели закономерность, и теперь смогут без труда определить такое уравнение в практических примерах. Кроме того, во всех этих уравнениях обязательноприсутствует независимая переменная «икс».
На самом деле есть общая формула, строгая формулировка, но я стараюсь избегать лишних параметров и прочих математических наворотов, поскольку уроки носят не теоретический, а практический характер. И даже общие формулы, которые я только что привел, являются не совсем полными с теоретической точки зрения.
Как решать такие уравнения? Они решаются с помощью очень простой замены.
Пример 5
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: В данном уравнении второго порядка в явном виде не участвует переменная . Заменим первую производную новой функцией , которая зависит от «икс»:
Если , то
Цель проведённой замены очевидна – понизить степень уравнения:
Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка, с той лишь разницей, что вместо привычной функции «игрек» у нас функция «зет». Грубо говоря, отличие только в букве.
Линейное неоднородное уравнение первого порядка можно решить двумя способами:методом Бернулли (замены переменной) или методом вариации произвольной постоянной. Я выберу метод вариации произвольной постоянной, поскольку он маловато встречался в моих статьях.
Решим вспомогательное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
Общее решение вспомогательного уравнения:
Варьируя постоянную , в неоднородном уравнении проведем замену:
Пара слагаемых в левой части сокращается, значит, мы на верном пути:
Разделяем переменные и интегрируем:
Таким образом:
Итак, функция найдена. Тут на радостях можно забыть про одну вещь и машинально записать ответ. Нет-нет, ещё не всё. Вспоминаем, что в начале задания была выполнена замена , следовательно, нужно провести обратную замену :
Общее решение восстанавливаем интегрированием:
На заключительном этапе нарисовался партизан «игрек», который, как мы помним, в дифференциальное уравнение в явном виде не входил.
Ответ: Общее решение:
В большинстве случае проверить и такие уравнения не составляет особого труда. Берём полученный ответ, находим первую и вторую производные:
Подставим первую и вторую производную в исходное уравнение :
Получено верное равенство, значит, общее решение найдено правильно.
Пример 6
Решить дифференциальное уравнение
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Теперь вспомним начало заданий. С помощью замены мы понижали степень уравнения и получали линейное неоднородное уравнение первого порядка. Всегда ли получается именно линейное уравнение в результате замены? Так происходит часто, но не всегда. После замены может получиться уравнение с разделяющимися переменными,однородное уравнение первого порядка, а также некоторые другие интересности.
Пример 7
Решить дифференциальное уравнение
Решение: В данном уравнении третьего порядка в явном виде не участвуют функция и первая производная . Замена будет очень похожей, за «зет» обозначаем младшего брата:
Если , то
Таким образом, уравнение понижено до первого порядка:
Получено уравнение с разделяющимися переменными, разделяем переменные и интегрируем:
Проведем обратную замену:
Данное уравнение имеет уже знакомый с первого параграфа вид: .
Дважды интегрируем правую часть:
Ответ: общее решение:
Пример 8
Найти общее решение дифференциального уравнения
Это пример для самостоятельного решения. После понижения степени получится линейное неоднородное уравнение первого порядка, которое в моём образце решено методом Бернулли. Как говорится, весь арсенал в ходу.
В дифференциальном уравнении
в явном виде отсутствует независимая переменная
Третий, чуть более сложный тип уравнения, допускающий понижение порядка. Я не буду рисовать общих формул – отличительная особенность данного диффура состоит в том, что в нём в явном виде отсутствует независимая переменная «икс». То есть, в исходном дифференциальном уравнении нет «икса». Вообще нет. Ни одного. Нигде.
Пример 9
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,
Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Подстановка здесь более замысловата. Первую производную заменим некоторой пока еще неизвестной функцией , которая зависит от функции «игрек»: . Обратите внимание, что функция – это сложная функция. Внешняя функция – «зет», внутренняя функция – «игрек» («игрек» сам по себе является функцией).
Находим вторую производную. По правилу дифференцирования сложной функции:
Учитывая, что , окончательно получаем:
В принципе, можно запомнить данную замену формально и коротко:
Другой вопрос, что студентам часто не понятно, почему в замене такая странная вторая производная: , «совершенно же очевидно, что должно быть ». А вот, оно, и не очевидно. Почему , я только что подробно прокомментировал.
Итак, в исходном уравнении проведём нашу замену:
Цель замены – опять же понизить порядок уравнения:
Одно «зет» сразу сокращаем:
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Если – функция, зависящая от «игрек», то первая производная в дифференциалах расписывается так:
. Не допускаем машинальной ошибки – не пишем «привычное»!!!
Разделяем переменные и интегрируем:
Проведем обратную замену :
Как и в первом параграфе, константу целесообразно отстрелить незамедлительно, это значительно упростит дальнейшее интегрирование.
Используем оба начальных условия одновременно: ,
В полученное уравнение подставим и :
Таким образом:
Дальнейшее просто:
Вторую константу тоже отстреливаем. Используя начальное условие , проводим подстановку :
Таким образом:
Выразим частное решение в явном виде:
Ответ: частное решение:
Кстати, ответ легко проверяется.
Для закрепления материала пара заключительных примеров.
Пример 10
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
, ,
Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная . Еще здесь нет первой производной, но это не должно смущать – важно, что нет «иксов», а значит, используется стандартная замена:
Таким образом, степень уравнения понижена до первого порядка:
Разделяем переменные и интегрируем, не забывая, что :
Переобозначим константу через :
.
Проведём обратную замену :
Используем одновременно оба начальных условия , и найдём значение константы . Для этого в полученное уравнение подставим и :
Таким образом:
Разделяем переменные и интегрируем:
В соответствии с начальным условием :
Окончательно: или
Ответ: частное решение:
Пример 11
Найти решение задачи Коши.
, ,
Это пример для самостоятельного решения.
Обратите внимание, что все три примера последнего параграфа идут с задачей Коши. Это не случайно. Специфика рассмотренного типа дифференциальных уравнений такова, что если предложить найти общее решение, то в большинстве уравнений нарисуются сложные, вычурные, а то и вообще неберущиеся интегралы. Поэтому практически всегда вам будет предложено найти частное решение.
Существуют еще некоторые типы диффуров, допускающие понижение порядка, но на практике они мне ни разу не встречались, хотя я перерешал очень много дифференциальных уравнений. Поэтому в урок были включены только те примеры, которые вам могут встретиться реально.
Пример 2: Решение: Преобразуем уравнение:
Данное ДУ имеет вид . Дважды интегрируем правую часть:
Ответ: общее решение:
Пример 4: Решение: Преобразуем уравнение:
Данное уравнение имеет вид . Трижды интегрируем правую часть:
В соответствии с начальным условием:
В соответствии с начальным условием:
В соответствии с начальным условием:
Ответ: частное решение:
Пример 6: Решение: В данное уравнение в явном виде не входит функция , проведем замену:
Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка. Используем метод вариации произвольной постоянной. Решим вспомогательное уравнение:
Разделяем переменные и интегрируем:
В неоднородном уравнении проведем замену:
Таким образом:
Обратная замена:
Ответ: Общее решение:
Пример 8: Решение: Проведем замену:
Получено линейное неоднородное уравнение, замена:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Обратная замена:
Дважды интегрируем правую часть:
Здесь я немножко схалтурил, интеграл от логарифма берётся по частям, и, строго говоря, последний интеграл нужно расписать подробнее.
Ответ: общее решение:
Пример 11: Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная , проведем замену:
Обратная замена:
В соответствии с начальными условиями , :
В соответствии с начальным условием :
Ответ: частное решение: