Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не понимаете, что это такое), то рекомендую начать с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Многие принципы решения и базовые понятия диффуров первого порядка автоматически распространяются и на дифференциальные уравнения высших порядков, поэтому очень важно сначала разобраться с уравнениями первого порядка.
У многих читателей может быть предубеждение, что ДУ 2-го, 3-го и др. порядков – что-то очень трудное и недоступное для освоения. Это не так. Научиться решать диффуры высшего порядка вряд ли сложнее, чем «обычные» ДУ 1-го порядка. А местами – даже проще, поскольку в решениях активно используется материал школьной программы.
Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка. В дифференциальное уравнение второго порядка обязательно входит вторая производная и не входят производные более высоких порядков:
Следует отметить, что некоторые из малышей (и даже все сразу) могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома был отец . Самое примитивное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так:
Дифференциальные уравнения третьего порядка в практических заданиях встречаются значительно реже, по моим субъективным наблюдениям в Государственную Думу они бы набрали примерно 3-4% голосов.
В дифференциальное уравнение третьего порядка обязательно входит третья производная и не входят производные более высоких порядков:
Самое простое дифференциальное уравнение третьего порядка выглядит так: – папаша дома, все дети на прогулке.
Аналогичным образом можно определить дифференциальные уравнения 4-го, 5-го и более высоких порядков. В практических задачах такие ДУ проскакивают крайне редко, тем не менее, я постараюсь привести соответствующие примеры.
Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в практических задачах, можно разделить на две основные группы.
1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение порядка. Налетайте!
2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Которые мы начнем рассматривать прямо сейчас.
Линейные однородные уравнения высших порядков
Всё очень и очень похоже.
Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
, где – константы.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как многие догадались, выглядит так:
, и оно в любом случае имеет ровно три корня.
Пусть, например, все корни действительны и различны: , тогда общее решение запишется следующим образом:
Если один корень действительный , а два других – сопряженные комплексные , то общее решение записываем так:
Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: . Характеристическое уравнение имеет три совпавших нулевых корня . Общее решение записываем так:
Если характеристическое уравнение имеет, например, три кратных корня , то общее решение, соответственно, такое:
Пример 9
Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка
Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
, – получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.
Ответ: общее решение
Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: , где – константы.
Соответствующее характеристическое уравнение всегда имеетровно четыре корня.
Общее решение записывается точно по таким же принципам, как и для однородных диффуров младших порядков. Единственное, хотелось прокомментировать тот случай, когда все 4 корня являются кратными. Пусть, например, характеристическое уравнение имеет четыре одинаковых корня . Тогда общее решение записывается так:
.
Тривиальное уравнение имеет общее решение:
Пример 10
Решить однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.
Полагаю, практически все смогут расправиться и с однородными дифференциальными уравнениями 5-го, 6-го и высших порядков. Мне очень не хотелось записывать общие формулы, рассказывать о фундаментальной системе решений и т.д. Но, процесс конструирования общего решения вроде раскрыт мной неплохо.
На посошок предлагаю решить однородный диффур как раз для закрепления вашего понимания. Да чего мелочиться:
Пример 11
Решить однородное дифференциальное уравнение шестого порядка
Полное решение и ответ ближе к подвалу. Караул устал – караул упал.
После такой основательной подготовки можно смело переходить к освоению линейных неоднородных уравнений второго и высших порядков.
Пример 2: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
, – различные действительные корни
Ответ: общее решение:
Проверка: Найдем производную:
Найдем вторую производную:
Подставим и в левую часть исходного уравнения :
, таким образом, общее решение найдено правильно.
Пример 4:Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Получены два кратных действительных корня
Ответ: общее решение:
Пример 6: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
– сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение:
Пример 8:Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
, то есть , (значение константы получилось сразу же).
.
То есть .
Составим и решим систему:
Ответ: частное решение:
Проверка: – начальное условие выполнено.
– второе начальное условие выполнено.
Подставим и в левую часть исходного уравнения:
Получена правая часть исходного уравнения (ноль).
Такие образом, здание выполнено верно.
Пример 10: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
, – получены два различных действительных корня и два сопряженных комплексных корня.
Ответ: общее решение
Пример 11: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
, – получены пять кратных нулевых корней и действительный корень
Ответ: общее решение