Рассмотрим функцию двух переменных n=2, . Предположим, что функция имеет частные производные
, ,
которые являются функциями двух переменных. Их называют частными производными первого порядка. Предположим, что они дифференцируемы.
Определение 1. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.
= , = .
= , = .
Две последние называют смешанными производными.
Если полученные функции являются дифференцируемыми, то частные производные от них называются частными производными третьего порядка. Например:
.
Определение 2. Частной производной n-го порядка называется частная производная от частной производной (n-1)-го порядка. Частных производных n-го порядка от функции двух переменных 2n штук.
Частная производная порядка р функции имеет вид
, где .
Теорема. Если частные производные первого порядка некоторой функции непрерывно дифференцируемы, то результаты смешанного дифференцирования равны.
.
Пример. .
, ,
, , , ,
.