На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:
Частные производные первого порядка от функции равны:
Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:
Выпишем отдельно первое уравнение системы и найдем его корни:
Подставим найденные значения переменной во второе уравнение системы:
и
Таким образом, получили две точки и , в которых будет продолжено исследование функции на экстремум.
На втором шаге найдем все вторые частные производные от функции :
На третьем шаге для каждой из точек и установим наличие экстремума функции (для этого вычислим значения вторых производных и найдем знак дискриминанта в указанных точках).
1) Для точки :
Так как дискриминант больше нуля и , то функция имеет минимум в точке :
.
2) Для точки :
Так как дискриминант меньше нуля, то функция не имеет в точке ни минимума, ни максимума.
Ответ: в точке функция имеет минимум .