Функціонально повною системою, або базисом, перемикаючих функцій називають систему перемикаючих функцій Х1, Х2, Х3, ..., за допомогою якої може бути представлена будь-яка функція алгебри логіки. Функціонально повними системами є базиси: І, АБО, НІ (базис 1); І, НІ (базис 2); АБО, НІ (базис 3); І-НІ або базис Шеффера (базис 4); АБО-НІ або Пірса (базис 5) і І-АБО-НІ (базис 6).
Базис І, АБО, НІ прийнято називати основним, так як будь-яка складна перемикаюча функція може бути записана у вигляді СНДФ або СКНФ.
Базиси можуть бути надлишковими і мінімальними. Базис І, АБО, НІ є надлишковою системою, так як можливе виключення з нього деяких функцій. Наприклад, використовуючи закони де Моргана, можна виключити або функцію І (базис 3), замінюючи її на АБО і НІ, або АБО (базис 4), замінюючи її на І і НІ. На рис. 4 наведені структури логічних елементів І, який складається із елементів НІ і АБО, і АБО, який складається з елементів НІ і І.
Базиси І, НІ і АБО, НІ називають нормальними базисами, так як при видаленні із цих базисів хоча б однієї функції функціонально повна система перетворюється в неповну.
Структури логічних елементів НІ, І, АБО складаються з елементів Шеффера.
Структури логічних елементів НІ, АБО, І, які складаються з елементів Пірса, приведені на рис. 5.
При побудові вузлів і блоків ЕОМ часто застосовують базис І-АБО-НІ (рис. 6).
Єднальною ланкою між реальним елементом і його перемикаючою функцією служить полярність логіки. Розрізняють позитивну і негативну логіку. При позитивній логіці в якості логічної одиниці прийнято високий рівень сигналу, при негативній — низький рівень сигналу. Залежно від типу вибраної логіки одні і ті ж логічні елементи можуть реалізовувати різні функції. Із принципу дуальності слідує, що один і той же логічний вираз може бути представлено двояко, наприклад
Х=А·В і =/ .
Це означає, що один і той же елемент буде реалізовувати з точки зору позитивної логіки функцію кон’юнкції, а з точки зору негативної логіки — диз’юнкцію.
В подальшому в якості одиниці всюди буде прийнято високий рівень напруги (позитивна логіка).
Рис. 4. Логічні схеми І(а) та АБО(б), відповідно в базисах АБО-НІ та І-НІ.
Рис. 5. Структури логічних елементів НІ , АБО, І, що складаються з елементів Пірса.
Рис. 6. Умовне графічне позначення елемента І-АБО-НІ.
Порядок виконання роботи
1. Уважно опрацюйте запропонований теоретичний матеріал. Повторіть алгоритм перетворення перемикаючих функцій з нормальної на досконалу форму.
2. Залежно від варіанту виконайте завдання:
1 варіант.
Звести до ДКНФ:
Звести до ДДНФ:
2 варіант.
Звести до ДКНФ:
Звести до ДДНФ:
Продемонструйте викладачу результати виконання роботи.
3. Завантажте табличний процесор Excel. Викличте майстер функцій. Оберіть категорію «Логічні». Повторіть порядок побудови таблиць істинності у Microsoft Excel. За допомогою таблиць істинності перевірте, чи співпадають значення функції у нормальній формі зі значенням, що ви отримали після перетворення на досконалу форму. Виконуйте завдання поступово, враховуючи правила порядку дій в алгебрі логіки. Продемонструйте викладачу результати побудови таблиць істинності.
4. Прослідкуйте, щоб кожен стовпчик даних мав відповідний до назви операції заголовок, створений у Microsoft Equation.
5. Виконайте завдання графічним способом.
6. Підготуйте звіт відповідно до встановленого зразка.