Рассмотрим возможность разложения в ряд Фурье периодической последовательности.
Выполнив замену , получим:
;
;
. (12.7)
Запишем формулу для коэффициентов Фурье — (снят индекс «а»; назначение «тильды» поясним позже), выполним необходимые подстановки:
.
В области дискретного нормированного времени (T = 1):
, (12.8)
где
Вывод: переход привел к тому, что коэффициенты стали
(индекс «p»).
Подставим коэффициенты в правую часть ряда (12.2):
. (12.9)
Полученный ряд —
.
Выводы:
1. Разложение в ряд Фурье периодической последовательности
2. Ряд (12.9) — периодический с периодом
Запишем один период ряда (12.9):
. (12.10)
Определим, чему он соответствует.
С этой целью определим значения непрерывной периодической функции (12.2) в дискретных точках :
.
Заменим вычисление бесконечной суммы вычислением бесконечного числа конечных сумм из слагаемых, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на :
.
Изменим порядок суммирования:
. (12.11)
При равенстве правых частей (12.10) и (12.11):
, (12.12)
обеспечивается равенство левых частей, т. е. в (12.10) имеем:
. (12.13)
Совокупность периодических коэффициентов называют спектром периодической последовательности .
Выводы:
1. Спектр периодического дискретного сигнала с периодом —
2. Спектр периодического дискретного сигнала с периодом равен бесконечной сумме копий спектров аналогового периодического сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на .
Дискретным преобразованием Фурье периодической последовательности называют пару формул:
ДПФ ; (12.14)
ОДПФ , (12.15)
где (постоянный множитель принято ставить в обратном преобразовании):
; (12.16)
— N-точечная последовательность (один период);
— N-точечное ДПФ (коротко – ДПФ) (один период).
ДПФ периодическойпоследовательностис периодом — это