Как правило, наряду с проблемой расчета оптимальной производственной программы при заданных на плановой период ограниченных ресурсах рассматривается проблема оптимального расширения существующего производства за счет дополнительного привлечения ресурсов к уже имеющимся объемам. Для выбора оптимальной стратегии расширения производства нужно знать, какой прирост достигнутого максимума выручки следует ожидать от дополнительного привлечения единицы того или иного ресурса при сохранении других ресурсов в прежнем объеме. Эту проблему рассмотрим на примере составленной и решенной графически в главе 2 модели расчета оптимальной производственной программы.
При сохранении лимитов по другим ресурсам исследуем зависимость максимума выручки от изменения лимита молока в диапазоне от нуля до бесконечности. Это значит, что при графическом анализе прямые линии, соответствующиен аполнителю и спросу будут оставаться на своих местах, а прямая линия, соответствующая ограничению по молоку будет изменять свое положение от нуля до бесконечности (рис.2.13).
Рис.4.1
Предположим, что предприятие имеет запас молока в 75 кг, вместо заданного в исходных данных 400 кг,т.е. первое ограничение исходной задачи (2.1) будет выглядеть как 0,8x1 + 0,5x2≤75тогда область допустимых решений задачи будет представлена треугольником, образованным этой прямой и осями координат. Для определения оптимального решения на таком треугольнике можно либо использовать градиент целевой функции. Оптимальное решение в данном случае (рис 2.13) будет точка G с координатами x1 =0; x2=150.
Решение двойственной задачи для данной ситуации найдем по составленным выше условиям «дополняющей нежесткости». Из группы условий (4.7), так как 350-x2=350-150=200>0; 100-0+150=250>0 и 365-0,4×0-0,8×150=245>0, следует, что наполнитель и спрос не лимитируют производственную программу (пассивные ограничения), т.е. находится в избытке, а значит u2=u3=u4=0
Из группы условий (4.8) следует, что, если второй продукт выпускается по оптимальной производственной программе, т.е. x2=150 то должно выполняться равенство
0,5u1+0,8u2-u3+u4-14=0
Из последнего уравнения с учетом u2=u3=u4=0 получим u1=28
При повышении лимита потребления молока треугольник, отражающей ОДР, будет увеличиваться (рис. 2.14).
2. Рис.2.14
При этом соответствующие оптимальные программы будут находиться на оси ординат, а вышеприведенные расчеты предельной эффективности сырья будут приводить к результату u1=28. Такая ситуация будет качественно сохраняться до тех пор, пока оптимальная программа не совпадает с точкой А. Программу А, наряду с ограничением по молоку начнет лимитировать ограничение по спросу на шоколадное мороженое. Поэтому расход молока на программу A(0,350) покажет правую границу диапазона устойчивости предельной эффективности u1=28. Каждый следующий за этой границей килограмм сырья будет расходоваться с меньшей предельной эффективностью.
Для расчета расхода сырья на программу (А) подставим ее координаты в левую часть ограничения по молоку, а именно:
0,8×0+0,5×350=175
Результаты последних расчетов показали, что каждый дополнительный килограмм сырья в диапазоне от 1 до 175 будет давать прирост максимума дохода 28 руб.
Для ответа на вопрос, будет ли прирастать максимум выручки при увеличении запаса молока сверх 175, нужно сравнить значения выручки для программы (А) и программы (В) (рис.2.15)
Прежде всего, найдем координаты точки (В), решив систему уравнений прямых, соответствующих молоку и спросу на шоколадное мороженое.
Координаты точки В: х1=212,5; х2=350
Рис. 2.15
Значение дохода в точке B будет равно 16×215,5+14×350= 8 300 руб.
Значение дохода в точке A равно: 16×0+14×350=4900 руб.
Очевидно, что F(B)>F(A). Это означает дальнейший рост максимума выручки от 4300 руб. до 8300 руб. ОДР будет представлена пятиугольником, образованным осями координат, ограничения по спросу и меняющимся ограничением по молоку.
Оптимальные программы будут находиться на отрезке AB. Характеризует эти программы тот очевидный факт, что по ним выпускается два продукта x1>0, x2>0 ограничения по наполнителю и спросу на сливочное мороженое не являются лимитирующим ресурсом для этих программ.
Отсюда их первой группы условий (4.7) следует, что u2=u3=0
Из группы условий (4.8) следует, что если оба продукта выпускаются, должны выполняться равенства
0,8u1+0,4u2+u3-16=0
0,5u1+0,8u2-u3-14=0
Из этих двух уравнений с учетом u2=u3=0 перейдём к решению следующей системы:
0,8u1=16
0,5u1+u4=14 откуда u1=20
Для того чтобы получить правую границу диапазона устойчивости вычисленной предельной эффективности u1=20, необходимо рассчитать расход молока для программы B
0,8×212,5+0,5×350=345 кг
Результаты текущих расчетов показали, что каждый дополнительный килограмм молока в диапазоне от 176 до 345 кг будет давать прирост дохода на 20 руб.
Для ответа на вопрос, будет ли расти максимум дохода при увеличении запаса молока свыше 345 кг обратимся к рис. 2.16
Рис. 2.16
Из него следует, что ограничение по молоку можно двигать вправо по направлению вектора-градиента до точки М, при этом выручка все время будет расти, достигая максимума в точке М, т.е ограничения по молоку и наполнителю будет оставаться дефицитными, а ограничения по спросу- не дефицитными. Согласно условиям «дополняющей нежесткости» получаем систему уравнения (u3=u4=0);
0,8u1+0,4u2-16=0
0,5 u1+0,8u2-14=0
Эту систему мы уже решали в п. 4.2.2 и получили U1=16,36 при расходе молока в точке М равным 432,1 кг М [(370,83;270,3)и 0,8×370,83+0,5×270,3=432,1]
То есть каждый дополнительный кг. молока в диапазоне 345-432,1 кг будет зависеть прирост дохода на 16,36 руб.
Если запас молока увеличить сверх 432,1 кг., то этот ресурс становится недефицитным и его предельная эффективность становится нулевой (u1=0) в диапазоне (432,1; ∞).
На этом графическое исследование функции предельной эффективности ресурса «молоко» заканчивается.
Сырья для данного предприятия (табл. 4.4) и табличное предоставление функции зависимости максимума выручки от увеличения производственного потребления сырья (табл. 4.5)
Таблица 4.4. Функция предельной эффективности ресурса «молоко».
Таблица 4.5. Зависимость максимума выручки (дохода) от запаса молока.
Используя информацию из этих таблиц, построим график этих функций (рис. 2.17 и 2.18).
Рис. 2.17 Изменения предельной эффективности ресурса «молоко».
Рис. 2.18 Изменения максимума дохода в зависимости от наличия молока.
Вид графика на рис. 2.17 еще раз демонстрирует известный закон убывания эффективности ресурса с ростом объемов производственного потребления. Ступенчатость графика и наличие точек разрыва функции эффективности объясняется тем, что исследование проводилось на основе линейного моделирования, в общем – то, нелинейных экономических связей.