Экономико-математическое моделирование

Владимирский государственный университет

 

Кафедра менеджмента

 

 

Экономико-математическое моделирование

 

 

(курс лекций)

 

 

Владимир-2010

Введение

Учебная дисциплина "Методы исследования в менеджменте "(Методы исследования операций, Экономико-математическое моделирование, Математическая экономика, Разработка управленческих решений и пр.) яв­ляется одной из обязательных в цикле специальных дисциплин, в ко­торой соединены экономическая, математическая тематика и вопросы управления.

Изучением дисциплины достигается формирование у специали­стов представления о неразрывном единстве эффективной профес­сиональной деятельности и требований к грамотному и рационально­му применению математического инструментария и современной ор­ганизационной и вычислительной техники. Реализация этих требова­ний гарантирует принятие своевременных и эффективных управлен­ческих решений.

Данное учебное пособие адресовано, прежде всего, студентам , бакалаврам и магистрам специальности "Менеджмент" со специализациями:. "Управление пер­соналом", "Инновационный менеджмент". "Логи­стика", "Стратегический менеджмент", "Управле­ние технологиями". Современные концепции подготовки высококвалифицирован­ных специалистов ориентированы на гуманизацию и. как следствие этих подходов, гуманитаризацию образования. При этом следует иметь в виду, что духовное становление личности и. в частности, ее умственное развитие невозможно без адекватного специальною ма­тематического образования, которое должно быть одним из основных направлений в подготовке специалистов любой квалификации, осо­бенно менеджеров высшей квалификации для различных областей деятельности.

Математика едина в смысле невозможности проведения строго­го деления ее на чистую и прикладную. Этот принцип предполагает введение в курс математики в высших учебных заведениях изучения, в частности, различных математических методов и моделей реальных объеРктов, процессов и явлений. В свою очередь при изучении дисци­плины необходимо рассмот­рение конкретных экономико-математических моделей и методов разработки и принятия управленческих решений.

Важно, чтобы студенты получили правильное представление о том. что такое экономико-математическая модель, в чем состоит ма­тематический подход к изучению реальных экономических объектов (систем, процессов и явлений) и как его применять при разработке управленческих решений. Это желательно реализовать, прежде всего, на примерах экономических дисциплин, что будет способствовать значительному усилению профессиональной и прикладной направ­ленности преподавания и развитию межпредметных связей.

Целями дисциплины Методы исследования в менеджменте" яв­ляются изучение основ теории и практики разработки управленче­ских решений, организации их эффективной реализации и контроля над исполнением; овладение студентами теоретическими основами экономико-математического моделирования; ознакомление с сущест­вующими экономико-математическими моделями и методами приня­тия управленческих решений, возможностями их применения в объе­ме, необходимом будущим специалистам для успешного решения за­дач управления в различных областях профессиональной деятельно­сти.

При изучении дисциплины особое внимание должно уделяться вопросам повышения экономической эффективности управления ор­ганизацией (предприятием) на основе использования новых форм ор­ганизации, управления, экономико-математических методов (ЭММ) и ЭВМ в условиях рыночной экономики, коренной перестройки управ­ления экономикой.

Задачи дисциплины " - вооружить будущих менеджеров основами теории принятия управ­ленческих решений, экономико-математического моделирования, научить анализировать любую экономико-организационную пробле­му с позиции оптимального управления и системного анализа, пока­зать, каким образом эти проблемы могут быть формализованы в виде экономико-математических моделей, решены с помощью экономико­-математических методов, и подготовить их к активному участию в управлении производством с широким использованием ЭММ и пер­сональных компьютеров.

В результате изучения дисциплины специалист должен знать теоретические основы приня­тия управленческих решений и моделирования, экономико-математические методы разработки управленческих решений и полу­чить практические навыки разработки и принятия управленческих решений.

Главная цель изучения раздела "Экономико-математические мо­дели и методы разработки и принятия управленческих решений" - дать студентам в совокупности теоретические знания и практические навыки разработки и принятия управленческих решений с использо­ванием экономико-математических моделей и методов и современ­ных компьютерных средств поддержки управленческих решений в реальных условиях многокритериальное™ и неполноты информации.

Основной задачей изучения указанного раздела дисциплины яв­ляется подготовка высококвалифицированных специалистов широко­го профиля, способных к освоению и внедрению всего нового, пере­дового и прежде всего умеющих разрабатывать эффективные управ­ленческие решения, профессионально применять ЭММ и ЭВМ в об­ласти управления, науки и техники.

В процессе изучения вопросов, представленных в разделе "Эко­номико-математические модели и методы разработки и принятия управленческих решений", студенты должны научиться квалифицированно, выполнять экономическую постановку задачи (определять цели, выбирать критерии оптимальности и т.п.), ее формализацию; формировать экономико-математическую модель исследуемого эко­номического процесса или объекта; анализировать, оценивать и вы­бирать рациональные ЭММ решения задачи; эффективно применять ЭММ: самостоятельно разрабатывать новые оригинальные ЭММ для конкретных производственных условий: анализировать процесс ре­шения задачи; самостоятельно осуществлять экономические расчеты и другие процедуры строго в соответствии с алгоритмом ЭММ вруч­ную или на ЭВМ; использовать пакеты прикладных программ для реализации ЭММ на персональном компьютере: разрабатывать вари­анты управленческих решений и обосновывать выбор оптимального исходя из критериев социально-экономической эффективности и экологической безопасности; творчески принимать управленческие решения и осуществлять контроль над их реализацией.

Дисциплина " наряду с прикладной математической направленностью ориентирована на по­вышение гуманистической составляющей при подготовке специали­стов и базируется на знаниях, полученных при изучении социально-экономических, естественнонаучных и общепрофессиональных дис­циплин. Ее изучение рекомендуется проводить на завершающем эта­пе формирования специалиста.

Дисциплина непосред­ственно связана и базируется на совокупности таких дисциплин, как высшая математика, прикладная математика, компьютерная подго­товка (программирование и ЭВМ), информатика, статистика, ме­неджмент, информационные технологии управления, а также специ­альных отраслевых дисциплин - микроэкономика, управление качест­вом и др. Предполагает знание методов моделирования и оптимиза­ции, теории вероятностей, математической статистики, организации и планирования производства, информационных систем, умение рабо­тать на персональном компьютере.

Изучение рассматриваемой дисциплины обеспечивает получе­ние знаний, способствующих в дальнейшем изучению таких дисцип­лин, как производственная логистика, организация машинострои­тельного производства, теория организации, экономика предприятия, управление производством, маркетинг, исследование систем управ­ления, внутрифирменное планирование, управление предприятием, инновационный менеджмент, стратегический менеджмент, анализ финансово-хозяйственной деятельности и др.

Структура учебной программы дисциплины, содержание отдельных тем программы и по­следовательность изложения учебного материала должны быть на­правлены на достижение конечных результатов, на обучение буду­щих специалистов целенаправленному содействию в повышении эф­фективности производства и качества работы организации (предпри­ятия).

Данное учебное пособие, с учетом ограниченности объема, по­священо рассмотрению наиболее важных концептуальных вопросов: основным понятиям; теоретическим основам разработки управленче­ских решений на базе применения экономико-математических мето­дов, организации их эффективной реализации; анализу и классифика­ции моделей, методов и подходов к решению задач управления про­изводством; обсуждению вопросов, трактовка которых в литературе еще не устоялась либо является противоречивой.

Конкретные модели, методы и алгоритмы разработки управлен­ческих решений рекомендуются к самостоятельному изучению по специальной литературе, на которую даются соответствующие ссыл­ки в данном учебном пособии.

Распределение часов по темам и видам учебных занятий, а также основные методические указания по темам дисциплины « Методы исследования в менеджменте» круг вопросов для самостоятельной рабо­ты, содержание практических занятий, лабораторных работ, деловых игр, тематика курсового проектирования, список обязательной и до­полнительной специальной литературы, техническое оснащение учебного процесса по дисциплине предусматриваются учебной про­граммой и более подробно освещаются в самостоятельных методиче­ских указаниях по дисциплине

Пособие написано в соответствии с Государственным образова­тельным стандартом высшего профессионального образования по специальности "Менеджмент" и учитывает его требования в части обязательного минимума содержания образовательной программы по дисциплине и к уровню под­готовки.

Материал учебного пособия базируется на лекционном курсе, читавшемся в течение ряда лет студентам Владимирского Государственного университета» При написании учебного пособия в максимальной степени использовалась современная и классическая научная, учебно-методическая литература.

ГЛАВА 1

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ, ОРГАНИЗАЦИИ, ПЛАНИРОВАНИИ И УПРАВЛЕНИИ ПРОМЫШЛЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ

Проникновение математики в экономику, планирование и управление.

Объективной закономерностью развития общественного произ­водства является усложнение функций управления, планирования, организации производственного… Современный уровень развития промышленности предъявляет новые, повышенные… Основой управления является принятие решений. Выработка и принятие решений - это творческий процесс в деятельности…

Экономико-математические исследования в нашей стране. Роль российских ученых в создании экономико-математических методов и моделей.

Развитие и проникновение математики в экономику, организа­цию, планирование и управление промышленным производством в последнее двадцатилетие шло… Идея необходимости применения математических методов для решения экономических… Еще в 1874 г. Л.Вальрасом, а затем русским экономистом В.К.Дмитрисвым в 1904 г. были даны уравнения связи затрат и…

Место экономико-математических методов и моделей в системе экономических наук и их связь с математическими и экономическими дисциплинами.

Экономико-математические методы – обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, введенное академиком В.С. Немчиновым в начале 60-х годов.

В ЭММ применяются различные разделы математики, особенно математическая статистика и математическая логика; большую роль в решении экономико-математических задач на ЭВМ играют вычислительная математика, теория алгоритмов и другие сложные дисциплины /17/.

Общепринятая классификация этих дисциплин, явившихся сплавом экономики, математики и кибернетики, пока не выработана. С известной долей условности ее можно представить в виде следующей схемы (рис. 1.1.).

Общие принципы ЭММ и моделей.

1.1. Теория экономико-математического моделирования.

1.2. Теория оптимизации экономических процессов.

Математическая статистика (ее экономические приложения).

2.1. Дисперсионный анализ.

2.2. Корреляционный анализ.

2.3. Регрессионный анализ.

2.4. Факторный анализ.

2.5. Теория индексов.

Математическая экономия и эконометрия.

3.1. Теория экономического роста (модели макроэкономической динамики).

3.2. Теории производственных функций.

3.3. Межотраслевые балансы (статистические и динамические).

3.4. Национальные счета, интегрированные материально-финансовые балансы.

3.5. Анализ спроса и потребления.

3.6. Региональный и пространственный анализ.

3.7. Глобальное моделирование.

Методы и модели принятия оптимальных (или рациональных) решений.

4.1.1. Линейное программирование. 4.1.2. Нелинейное программирование. 4.1.3. Дискретное (целочисленное) программирование.

ЭММ и модели, специфические для централизованно планируемой экономики.

5.1. Теория оптимального функционирования экономики.

5.2. Оптимальное планирование (перспективное и текущее).

5.2.1. Народнохозяйственное.

5.2.2. Отраслевое.

5.2.3. Региональное.

5.3. Теория оптимального ценообразования.

5.4. Экономико-математические модели внешней торговли.

5.5. Экономико-математические модели материально-технического снабжения.

5.6. Методы оптимизации спроса и потребления.

Экономическая кибернетика.

6.1. Системный анализ экономики.

6.2. Теория экономической информации.

6.3.Теория автоматизированных систем управления.

Методы экспериментального изучения экономических явлений.

7.1. Методы машинной имитации.

7.2. Методы реального экономического эксперимента.

7.3. Деловые игры.

7.4.Экспертные системы.

Представленная классификация – лишь одна из многих возможных /17/.

За рубежом термин «экономико-математические методы» не применяется, его заменяют терминами «экономическая кибернетика», «исследование операций» и другими, причем в содержание каждого из них вкладывается та или иная комбинация указанных дисциплин.

 

Типология моделей

Термины и определения основных понятий дисциплины

Понятия составляют основу любой научной дисциплины. В науке имеет огромное значение точность, строгость выражения мыслей. Научные понятия… Поэтому в науке используется особый язык, не допускающий разных толкований в… Указанные выше термины (модель, экономико-математическая модель, экономико-математический метод,…

Классификация моделей

Эффективное применение моделей требует, прежде всего, их серьезного и глубокого изучения, а значит, определенной схематиза­ции и классификации. Любая классификация подчинена целям иссле­дования. В соответствии с целью выбирается и классификационный признак. Существует ряд признаков классификации моделей разной природы. В зависимости от принятого классификационного признака возможны различные группировки моделей, при этом в качестве классификационных может быть использован широкий набор при­знаков. Этот набор определяется множеством целей исследования ре­ального объекта и его модели.

 

Классификация материальных и абстрактных моделей

В зависимости от выбора средств моделирования (по соответст­вию природы объекта и модели; по способу отображения действи­тельности, а следовательно, и по аппарату построения (по форме)) различают два вида моделей: материальные (вещественные) модели -(1.) и абстрактные (мысленные, идеальные) модели - (2.).

1. Материальная модель - материальный объект подобный объ­екту исследования и способный его замещать в процессе эксперимен­та. Материальные модели - это модели, которые построены (или ото­браны) человеком и существуют объективно, будучи воплощены в металле, дереве, стекле, электрических элементах, биологических ор­ганизмах и других материальных структурах /16/.

Все материальные модели по способу представления или описа­ния модели можно подразделить на физические (масштабные) - (1.1.) и предметно-математические - (1.2.).

1.1. Физическая (масштабная) модель представляет собой вы­полненную в некотором масштабе (уменьшенную, увеличенную или в натуральную величину) копию исследуемого объекта или системы /20/. Она имеет аналогичную моделируемому объекту физическую природу, а процессы в модели и натуре при этом различаются только масштабами. При масштабном моделировании физическая природа модели и объекта по факторам, доминирующим в данном исследова­нии, как правило, одна и та же. Такие модели часто используют в технике, например, при механических испытаниях или гидротехниче­ских исследованиях и т.п. /20/.

Физические (масштабные) модели экономических систем (сис­тем управления) рассматриваемого нами типа создать принципиально невозможно.

Физические модели делятся на два подвида:

1.1.1. Пространственно-подобные модели: сооружения, предназначенные для отображения пространственных свойств или отношений объекта (макеты районов города, домов, заводов, цехов, производственных участков с различными способами расположения на них рабочих мест, транспортных средств и коммуникаций и т.д.).

1.1.2. Физически подобные модели: материальные модели,
имеющие целью воспроизвести различного рода физические связи и
зависимости изучаемого объекта. Основой построения таких моделей является физическое подобие - одинаковость физической природы и тождественность законов движения /2/.

Физические модели используются тогда, когда из-за сложности системы или недостаточности априорной информации не удается построить адекватную абстрактную модель и когда даже с помощью моделирования на предложенной абстрактной модели получение удовлетворительных результатов встречает непреодолимые трудности. Поиск оптимальных (рациональных) решений при физическом моделировании осуществляется с применением методов теории инженерного эксперимента (экспериментальной оптимизации). Несмот­ря на универсальность метода физического моделирования, его применение часто затруднительно из-за больших затрат средств, труда и времени /29/.

1.2. Предметно-математическая модель проектируется из эле­ментов другой физической природы в отличие от объекта исследова­ния, но описывается той, же самой системой математических зависи­мостей, что и оригинал.

Предметно-математические модели - это вещественные или фи­зические оболочки некоторых математических отношений, но не са­ми отношения. Они обладают в той или иной степени одинаковым математическим формализмом, описывающим поведение объекта и модели /16/.

Предметно-математические модели можно разделить на модели прямой аналогии (1.2.1.) и непрямой аналогии (1.2.2.).

1.2.1. Модели прямой аналогии (аналоговые модели) основаны на аналогии между процессами в различных по физической природе системах или средах /20/.

Наиболее часто применяют электрические аналоговые модели, на которых легко воспроизводится динамика самых различных по природе процессов. На электрической аналоговой модели фактически реализуют в виде распределения токов и потенциалов математиче­скую зависимость, которой подчиняется исследуемый процесс, т.е. с ее помощью аналитическое решение заменяют экспериментальным. На модели можно получить решение математической задачи незави­симо от того, относится ли она к какому-либо конкретному физиче­скому объекту. В этом смысле аналоговые модели можно отнести к математическим /20/.

Существенное преимущество электрических аналоговых моде­лей - их высокое быстродействие, что позволяет изменять масштаб времени при исследовании динамических процессов - процессы, длящиеся в реальных условиях часами, днями, годами, в модели про­текают за доли секунды.

Недостаток таких моделей - относительно низкая точность, ог­раниченная необходимостью измерения токов и напряжений, а также точностью реальных технических элементов, на которых создана мо­дель.

Модели прямой аналогии широко используются в различных областях научных исследований, а также при анализе и проектирова­нии технических систем /20/.

При изучении экономических систем (систем управления) и в процессе их функционирования аналоговые модели из-за низкой точ­ности применяют только для решения некоторых специальных задач /20/. Поэтому модели прямой аналогии главным образом используют­ся в технике. Но. в принципе, их применение возможно и в экономи­ке.

Например, одна из первых таких моделей была создана в Лон­доне в виде гидравлической модели, представляющей собой сложную систему труб и резервуаров, в которой потоки воды имитировали по­токи денег и товаров, а резервуары отождествлялись с такими эконо­мическими категориями, как "объем промышленного производства", "личное потребление" и др. Регулируя потоки воды, означавшие, скажем, сбор налогов (т.е. "меняя ставку налогов"), ученые наблюда­ли, как при этом изменится уровень жидкости в резервуарах ("личное потребление" или "инвестиции"). Можно было таким образом, конеч­но, в очень приблизительной форме, демонстрировать связь различ­ных экономических категорий, аналогичную реальным связям между этими категориями в экономике. Особенно эффективной была гид­равлическая аналоговая модель, в которой использовались разно­цветные потоки жидкости. Создавались и электрические аналоговые модели экономики. Одна из них в США известна под названием "Эконорама" и представляет собой сложную электрическую схему, в которой имитируются экономические процессы. Но все эти попытки имели лишь демонстрационное применение, а не служили средством изучения закономерностей экономики /18/.

1.2.2. Модели непрямой аналогии (программные, алгоритмиче­ские) представляют собой программу или комплекс программ, как правило, реализуемых на ЭВМ. Функции объекта или закономерно­сти исследуемого процесса в программных моделях отражены в алгоритме самой программы и выражены на алгоритмическом языке /20/. При реализации таких программ на ЭВМ имитируется поведение следуемого объекта (системы), его свойства и характеристики в необходимом для исследования объекта составе, объеме и области изменения его параметров /22/.

Программные модели могут включать», в себя любые математические модели, реализованные в виде программ. В литературе их довольно часто называют имитационными (латинское imitatio - подражание, воспроизведение). Это название нельзя признать удачным, та как термин "имитация" в интересующем нас смысле - синоним термина "модель" и в таком понимании любые модели являются имитационными, поскольку они имитируют, отображают тот или иной объект /20/.

2. Абстрактная модель. В этой модели в качестве средств моделирования используются или естественный язык, или язык абстрактных символов (система математических выражений, логические символы, графика и т.п.), т.е. используются научные формализованные языки, с помощью которых описываются характеристики объекта; моделирования и взаимосвязи между этими характеристиками.

Абстрактные модели по способу представления или описания модели, т.е. используемому языку описания, можно разделить на три подвида: описательные (2.1.), наглядно-образные (2.2.), знаковые (2.3.) модели.

2.1. Описательная (концептуальная) модель представляет собой словесное описание (на естественном языке) исследуемого объекта или процесса.

Описательные модели - наиболее простые и соответственно са­мые грубые, неточные. Они дают весьма приблизительное представ­ление об оригинале, но могут оказаться весьма полезными, главным образом, на ранних стадиях исследования /20/.

Описательные модели делятся на неформализованные (2.1.1.) и формализованные (2.1.2.) модели.

2.1.1. Неформализованная описательная модель. В ней описание имеет произвольную форму, в виде свободного рассказа.

2.1.2. Формализованная описательная модель составляется по определенным, заранее установленным правилам. Эти правила могут задавать последовательность описания в виде вопросника или анкеты либо, при более строгой формализации, предписывать также и упот­ребление терминов, используемых при описании /20/.

2.2. Наглядно-образные (в том числе графические) модели вы­ражены с помощью абстрактных объектов, т.е. это модели, образы которых в сознании построены на чувственно-наглядных элементах (шары, пружины, потоки жидкостей, стрелки и т.п.). В качестве при­мера можно привести структурные модели атома, структурные фор­мулы в химии, технологические графы производственного процесса и т.д. /2/.

Графическая модель представляет собой графический образ и дает более полное представление о реальном объекте (графики, диа­граммы, схемы, рисунки и т.п.).

Простейшие из них представляют собой изображение его внеш­него вида или внутреннего устройства на фотографии или рисунке - в статике или запись на кино- или магнитной пленке - в динамике. По более строгим правилам вид и внутреннее устройство объекта иссле­дования - это соответствующие чертежи, на которых уже отображены мелочи (детали), несущественные для понимания функционирования или устройства реального объекта /20/.

Происходящие в объекте процессы, их последовательность, вы­полняемые процедуры, а также связи между элементами объекта или процедурами удобно изображать в виде схем.

2.3. Знаковые модели - абстрактные (мысленные) модели, в ко­торых элементы исследуемого реального объекта и их отношения (связи и зависимости) выражены с помощью знаков (в том числе ма­тематических символов и формул, логических символов, графических символов) /2/.

Знаковые модели в зависимости от используемой для описания исследуемого объекта системы символов можно разделить на четыре подвида: математические (2.З.1.), графические (2.3.2.), теоретико-множественные (2.3.3.), алгоритмические, или программные (2.3.4.) модели. Разумеется, такое деление в значительной степени условно, поскольку в каждой из моделей в той или иной степени могут соче­таться все указанные системы символов, т.е. можно говорить о знако­вых моделях смешанного вида.

2.3.1, Математическая модель представляет собой некоторое ма­тематически формализованное описание (на формализованном мате­матическом языке; на языке математических формул и соотношений; на языке абстрактных математических символов) объекта исследова­ния, позволяющее выводить суждения о соответствующих чертах поведения этого объекта при помощи формальных процедур над ее описанием /36/.

В общем случае математическая модель - это совокупность математических соотношений (например, формул, уравнений, неравенств, логических условий и т.п.), определяющих выходные данные в зависимости от входных данных (например, параметров реальной объекта, начальных условий, времени и др.) /25/.

В тех случаях, когда задача может быть математически строго записана и разрешима, математическая модель представляет собой наиболее мощное из существующих средств анализа и синтеза любой системы.

2.3.2. Графическая модель представляет собой описание объекта исследования с помощью графических символов.

2.3.3. Теоретико-множественная модель представляет собой описание объекта исследования с помощью языка теории множеств - математической теории, лежащей в основе многих разделов современной математики /20/.

2.3.4. Алгоритмическая (программная) модель представляет со­бой описание объекта исследования в виде алгоритма, представленного в какой-либо форме (например, математически формализованной, табличной, графической и т.п. или смешанной), или программы- алгоритма, записанного на одном из алгоритмических языков. Программные модели могут включать в себя любые математические мо­дели, реализованные в виде программ.

Классификация экономических моделей

Все множество моделей можно разделить на большие подмно­жества по отраслям науки: экономические модели, химические моде­ли, физические модели и т.д.

Далее мы будем рассматривать только экономические модели.

Экономические модели определяют зависимости между изучае­мыми экономическими факторами и конкретизируют экономические цели.

Объектом исследования в экономических моделях являются экономические системы и процессы.

В основе экономических моделей лежит наше представление о содержанииэкономических явлений, которое формируется опытом. Это экспериментальное начало позволяет нам сформулировать некоторую систему аксиом. Дальнейшее средство для построения теории нам предоставляет математика с ее четким логическим аппаратом. Описанный подход к построению моделей называется феноменоло­гическим. Этот термин означает, что в основе модели лежит опытное изучение феномена - явления /27/.

В экономике подавляющее большинство моделей носит фено­менологический характер.

Экономические модели разделяют на два больших класса моде­лей: макроэкономические модели и микроэкономические модели.

Макроэкономические модели относятся к экономике страны (го­сударства) в целом.

Микроэкономические модели описывают ограниченные области экономических явлений, как правило, в пределах организации (пред­приятия).

Далее рассматриваются микроэкономические модели.

1. По отражаемому в модели аспекту выделяют:

1.1. Производственные модели.

1.2. Социальные модели.

Производственная модель - модель, отражающая преимущест­венно производственный аспект.

Социальная модель - модель, отражающая социальный аспект.

Разумеется, такое деление в значительной степени условно, по­скольку в каждой из моделей в той или иной степени сочетаются производственный и социальный аспекты.

2. По цели изучения выделяют:

2.1. Структурные (композиционные) модели.

2.2. Функциональные модели.

2.3. Информационные модели.

2.1. Структурная модель - модель, отражающая внутреннюю структуру реального (моделируемого) объекта. В этой модели вос­производятся отношения между элементами объекта (системы). Мо­дели этого класса относятся к системам композиционного планиро­вания. В них мы имеем конечную цель, но и хотим изучить взаимо­действие элементом системы (объекта).

2.2. Функциональная модель - модель, отражающая лишь пове­дение объекта, его функционирование (функции процесса), опреде­ляющая зависимость между воздействием на объект и состоянием объекта (модель - "черный ящик"). Такие модели строятся, когда внутренняя структура объекта исследования недоступна (неизвестна).

Одним из видов функционального моделирования является ки­бернетическое моделирование, при котором абстрагируются от веще­ственных субстратов (материалов) и энергетических процессов в мо­делируемых объектах /36/.

2.3. Информационная модель - модель, отражающая совокуп­ность сигналов, несущих информацию об объекте управления и внешней среды, организованная по определенным правилам. Комби­нация сигналов на мнемосхеме в кабинете директора, телевизионное изображение цеха, система математических формул, характеризую­щих экономические процессы на предприятии, общее представление руководителя о структуре предприятия - все это информационные модели разных типов, предназначенные для различных задач, техни­ческих средств и методов управления. Словом, это вся сумма сведе­ний, знаний об объекте управления, а также о задачах, которые пред­стоит решать, имеющихся у человека, принимающего решение /17/.

Так, например, в процессе создания АСУ формируется инфор­мационная модель объекта управления, отражающая реальные потоки обращающейся в нем информации, что способствует их упорядоче­нию, повышению гибкости информационных связей, оперативности и согласованности принятия решений на разных уровнях системы /3/.

Информационная модель - модель, отражающая пространствен­но-временные связи данных в системе управления.

3. По цели реализации различают:

3.1.Нормативные модели.

3.2.Объяснительные модели.

3.3.Прогнозные модели.

3.1.Нормативная модель - модель, позволяющая ответить на во­прос: "Как должно быть?" Создается для нахождения наилучшего из возможных состояний объекта исследования.

3.2.Объяснительная модель - модель, позволяющая ответить на вопрос: "Почему?" Строится с целью объяснения наблюдаемого фак­та.

3.3.Прогнозная модель - модель, позволяющая ответить на во­прос: "Как будет развиваться объект (система)?" Строится с целью прогнозирования поведения объекта (системы).

4. По способу реализации различают:

4.1.Машинные модели.

4.2.Ручные модели.

4.1.Машинная модель - модель, реализуемая с помощью техни­ческих средств.

4.2.Ручная модель - модель, реализуемая вручную.

5. По числу моделируемых объектов различают:

5.1.Сингулярные модели.

5.2.Бинарные модели.

5.3.Мультиплексные модели.

5.1.Сингулярная модель - модель, относящаяся к одному объек­ту в определенном масштабе (например, покупательная способность семьи квалифицированного рабочего в рассматриваемом году).

5.2.Бинарная модель - модель, охватывающая два объекта в од­ном и том же масштабе (например, взаимоотношения между произ­водителем и потребителем некоторого вида продукции) /36/.

5.3.Мультиплексная модель - модель, охватывающая более двух объектов в одном и том же масштабе.

6. В зависимости от уровня организации объекта различают:

6.1.Сублокальные модели.

6.2.Локальные модели.

6.3.Суперлокальные модели.

6.4.Глобальные модели.

6.5.Суперглобальные модели.

7. По степени сложности различают:

7.1.Простые модели.

7.2.Сложные модели.

8. По степени точности отражения связи между входами и выхо­дами объекта (системы), а также результатов моделирования разли­чают:

8.1.Точные (алгоритмические) модели.

8.2.Менее точные (эвристические) модели.

8.3.Эвроритмические (алгоритмо-эвристические) модели.

 

8.1.Точные модели базируются на точных знаниях об объекте исследования и строятся на основе применения, как правило, точных алгоритмических методов, позволяющих получать ("чистый матема­тический оптимум") оптимальные решения.

8.2.Эвристические модели - это наиболее часто встречающийся вид экономических моделей. Связи между входами и выходами объ­екта (системы) в эвристической модели представлены на основе не­которых не имеющих строгого доказательства предположений о ра­боте реального объекта (системы), экономического опыта, интуиции.

Иногда эвристическую модель строят по результатам наблюдений за неформальным поведением сотрудников изучаемой системы. В эври­стической модели не имеет значения совпадение внутренних законо­мерностей модели и реального объекта, важно лишь, что при одина­ковых значениях входов модели и объекта значения выходов оказы­ваются достаточно близкими.

Несмотря на то, что эвристическая модель имеет в известной мере субъективный характер, степень адекватности модели оригина­лу в ряде случаев вполне удовлетворительна. Эвристические модели разрабатывают в тех случаях, когда сложность системы настолько ве­лика, что не поддается формализации другими методами. Эвристиче­ские модели используют, в частности, для отражения сложных не­формализованных процессов принятия решений в системах управле­ния людьми /20/.

8.3. Эвроритмические модели представляют собой соединение точных (алгоритмических) моделей с эвристическими.

9. По полноте реализации различают:

9.1.Частные модели.

9.2.Общие модели.

10. По степени огрубления структуры объекта исследования
различают:

10.1.Агрегированные модели.

10.2.Детализированные модели.

11. По типу изменения переменных (по степени непрерывности
отображаемого процесса) различают:

11.1.Модели дискретного типа.

11.2.Модели непрерывного типа.

11.3.Модели смешанного типа.

12. По характеру используемой в качестве исходной информа­ции различают:

12.1.Модели, в которых используется только первичная ин­формация.

12.2.Модели, в которых используется только производная информация.

12.3.Модели, в которых используется смешанная информа­ция.

13. По отношению внешних и внутренних причин различают:

13.1.Закрытые модели.

13.2.Открытые модели.

13.1. Закрытая модель - модель, у которой нет входов и выходов
(либо они признаются неизменными и поэтому не принимаются во
внимание при анализе), т.е. модель, которая не учитывает внешние
воздействия на моделируемый объект.

Понятие закрытой модели принимается как научная абстракция, помогающая изучать закономерности реальной экономики на упро­щенной модели. Поведение такой модели определяется не внешними факторами, а только начальным состоянием и внутренними законо­мерностями ее развития /17/.

13.2. Открытая модель - модель, которая учитывает внешние
воздействия на моделируемый объект.

14. По глубине охвата функций объекта и его структурной орга­низации выделяют:

14.1.Модели среды.

14.2.Модели социальной структуры общества.

14.3. Модели производственно-технологической структуры
хозяйства.

Классифицировать модели по характеру моделируемых эконо­мических объектов вследствие чрезвычайного их разнообразия здесь нецелесообразно.

Чистой и полной классификации экономических моделей не су­ществует. Результат классификации зависит от цели исследования.

Классификация экономико-математических моделей

В экономической науке используются, главным образом, мате­матические модели. Это объясняется тем, что изучение любого эко­номического объекта (системы), любого экономического процесса (формы движения) представляет собой раскрытие не только его каче­ственных сторон, но и количественных зависимостей, изучаемых ма­тематикой.

Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только экономико-математические модели.

Экономико-математическая модель - это математическая модель исследуемого экономического объекта (системы, процесса), т.е. ма­тематически формализованное описание исследуемого экономиче­ского объекта (системы, процесса), отражающее в формализованном виде характер, определенные существенные свойства реального экономического объекта (управляемой системы) и процессов, протекающих в нем.

1. По отражению состояния реального объекта в статике или динамике (по временному признаку) можно выделить следующие классы моделей:

-статические модели (модели состояний; одноэтапные);

-динамические модели (модели движения, динамики; многоэтапные).

1.1. Статическая модель – модель, в которой описывается одномоментное состояние объекта исследования, т.е. модель, которая отражает состояние реального экономического объекта в статике /17/.

1.2. Динамическая модель – модель, которая показывает развитие объекта исследования (моделирования) во времени, т.е. модель, которая отражает состояние реального экономического объекта в динамике.

2. По степени огрубления свойств элементов и структурных отношений объекта исследования (структурные отношения при этом выражают зависимость между состоянием и параметрами сложной системы), т.е. в зависимости от состояния параметров реального объекта и степени отражения влияния на модель внешних и внутренних факторов (возмущений) можно выделить следующие классы моделей:

2.1. Детерминированные модели.

2.2. Вероятностные (недетерминированные; стохастические) модели.

2.1. Детерминированная модель – модель, которая описывает исследуемый объект (систему, процесс) средними значениями характеризующих его параметров (случайные отклонения нас не интересуют) с достаточной для целей исследования точностью /20/. Условия, параметры реального объекта считаются полностью заданными, известными, детерминированными, а управляемые переменные не подвергаются воздействию случайных помех, т.е. не учитывается влияние на объект исследования случайных факторов.

Детерминистический случай в точном (строгом) смысле этого понятия сравнительно редко встречается в практике.

2.2. Вероятностная модель – модель, которая описывает исследуемый объект (систему, процесс), значения характеризующих параметров которого изменяются случайным образом относительно среднего значения, т.е. модель, которая учитывает влияние на объект исследования случайных факторов (не все условия, параметры реального объекта полностью определены , детерминированы, кроме того, некоторые условия могут быть вообще неизвестны; ряд, а может быть, и все управляющие переменные, подвержены влиянию случайных помех) /42/.

В большинстве экономических объектов (систем управления) значения параметров входов и выходов, а часто и состояний объекта (системы) имеют случайный характер, т.е. нет детерминизма. Для этих случаев вероятностные модели точнее отражают действительность.

В реальных условиях значения параметров, под влиянием большого числа воздействующих на них факторов меняются случайным образом относительно среднего значения. Отражая такие изменения, вероятностные модели являются более мощным средством анализа, чем детерминированные /20/. Они позволяют учесть большее число различных факторов и более сложные взаимосвязи между переменными, но они менее наглядны.

В вероятностных моделях для более глубокого отражения реальности часто предполагают, что определяющие параметры являются случайными величинами, вероятностные характеристики которых могут быть оценены методами математической статистики при обработке данных предварительных экспериментов. Вместе с тем предположение о случайном характере параметров есть предположение об их статистической устойчивости, т.е. о возможности прогнозирования на базе сведений о прошлом поведении. Иногда и это предположение может быть немотивированным, условия функционирования в значительной мере определяются действиями объекта, а эти действия непредсказуемы и могут быть любыми в пределах его возможностей. В такой ситуации приходится отказаться даже от вероятностного подхода и использовать игровые модели, где допустимо считать, что параметры могут принимать любые значения, например, от нижнего до верхнего предельного значения. Таким образом, в зависимости от характера возможного прогнозирования влияния реальных условий на показатели (параметры) можно выделить три типа моделей: детерминированные (2.1.), вероятностные (2.2.) и игровые (2.3.) /5/.

3. По виду, форме или способу представления и описания различают:

3.1. Аналитические модели.

3.2. Числовые модели.

3.3. Логические модели.

Глава 2. Графический метод решения задач

Постановка задачи

Наиболее простым и наглядным методом решения задач линейного программирования является графический метод. Он применяется для задач ЛП с двумя переменными, заданными в неканонической форме, и многими переменными в канонической форме при условии, что они содержат не боли двух свободных переменных (искомых неизвестных).

С геометрической точки зрения в задаче линейного программирования ищется такая угловая точка или набор точек из допустимого множества решений, на которой достигается самая верхняя (нижняя) линия уровня, расположенная дальше (ближе) остальных в направлении наискорейшего роста.

Алгоритм решения задачи графическим методом

1. Находим область допустимых решений (ОДР) по каждому ограничению и общую ОДР. 2. Находим координаты угловых точек и значение F(x) в каждой точке. Max F(x)… 3. Строим вектор-градиент grad F(x)= F(x) по координатам (0,0; c1,c2), который…

Решение задачи графическим методом

Пример 1.Фирма выпускает два вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и…   Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на…

Экономический анализ задачи с использованием графического метода

Математическая модель задачи имеет вид F (x) =16x1+14x2→max при ограничениях:

Глава 3. Алгебраический симплексный метод.

Сущность симплексного метода.

Симплексный метод (симплекс-метод) является универсальным методом решения задач линейного программирования. Свое название данный метод берет от… Симплексный метод - это итеративный процесс направленного решения системы… Допустимое множество базисных решений системы линейных уравнений образует в объеме многогранное тело, например…

Каноническая форма задачи линейного программирования

1) критерием оптимальности является максимум целевой функции; в случае необходимости переход к задаче на максимум достигается изменением знака… 2) функциональное ограничение задачи имеют вид равенств с неотрицательными… 3) все переменные неотрицательны; если на некоторую переменную xj по экономическому смыслу не наложено условие…

Этапы и алгоритмы симплексного метода решения ЗЛП

Рассмотрим этапы и алгоритмы симплексного метода на конкретном примере, при этом, как и в случае графического метода (глава 2), в процессе решения задачи будем делать необходимые теоретические пояснения и выводы.

Алгоритм симплексного метода включает следующие этапы.

Каноническая форма данной задачи получается путем введения дополнительных неотрицательных переменных (базисных или балансных): 1→ 0,8x1+0,5x2+x3 =400 2→ 0,4x1+0,8x2 +x4 =365

Глава 4. Теория двойственности в задачах линейного программирования

Получение оптимального решения оптимизационной задачи вообще и задачи линейного программирования в частности - это не конец, а фактически только начало работы менеджера с количественной моделью. При формулировке модели, как уже отмечалось, величины, количественно характеризующие ту или иную систему или управленческую ситуацию, разбиваются на две группы. Первая группа – это величины, которые субъект, принимающий решение, должен менять в ходе поиска оптимума целевой функции. В нашем случае – это количество сливочного и шоколадного мороженого (x₁, х₂).

Нахождение оптимальных значений x₁ и x₂ и составляет содержание процесса «принятия решений» в данном случае. Переменные второй группы величин в ходе поиска оптимума целевой функции должны считаться постоянными (количество молока и наполнителя, ограничения по спросу, отпускная цена, расход ресурсов на единицу продукции).

Ясно, что именно величины второй группы определяют оптимальные значения переменных и целевой функции. Некоторые параметры действительно трудно поддаются изменению. Например, параметры, характеризующие технологический процесс (величина на расходы молока и наполнителя на 1 кг мороженого), а также величина спроса, вряд ли могут быть изменены менеджером. Этот вопрос должен решаться специалистом-технологом. Однако изменение доступных для производства ресурсов (общие запасы молока и наполнителя) находится, разумеется, в компетенции менеджера производственного отдела. Вопрос об отпускных ценах на продукцию цеха (а, следовательно, об изменение прибыли от продажи единицы продукции каждого типа) - это также управленческий вопрос.

Таким образом, многие параметры модели могут (и должны) изменяться менеджером с целью поиска путей улучшения работы системы. Поскольку изменение параметров модели часто связано с привлечением дополнительных финансовых ресурсов, необходимо ответить на ряд вопросов.

- какой ресурс наиболее сильно влияет на изменение прибыли (издержек)?

- как изменится решение и целевая функция при изменении количества того или иного ресурса?

- если какой-либо продукт не входит в оптимальный план (как в примере с кондитерской фабрикой), а по каким-то неформализуемым причинам желательно, чтобы он в него входил, то какой параметр, и в каком направление следует изменить? и т.д.

Для того чтобы сформировать интуитивное представление о том, как может меняться решение задачи линейного программирования при изменении параметров, полезно познакомиться с понятием двойственности задач линейного программирования.

В этой главе вводится новое понятие теории линейного программирования - понятие двойственности. Будучи исключительно важным в теоретическом отношении, оно имеет богатое экономическое содержание. На основе теории двойственности разработан алгоритм решения задач линейного программирования - двойственный симплексный метод и эффективные методы анализа моделей на чувствительность. Любой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу, сформулированную по стандартным правилам таким образом, что решение любой из них является и решением другой задачи. Такие задачи называются взаимодвойственными, они вместе образуют задачу торга.

 

Содержательная постановка двойственной задачи

Одной из важнейших “зеркальных” связей между исходной и двойственной задачами является связь между искомыми неизвестными (х₁, х₂) и… Пусть имеется покупатель на все виды ресурсов, используемые для выпуска…  

Параметры задачи

Какие цены на эти ресурсы нужно назначить, чтобы продать их было выгоднее, чем производить продукцию? Какую минимальную сумму можно выручить от… Поскольку в этой задачи четыре вида ресурсов (четыре ограничения), то и… цена 1кг молока -u₁

Элементы модели

Симметрия исходной и двойственной задач хорошо видна из сводной таблицы параметров и элементов решения этих двух задач (табл.4.3). Как видно из этой… Целевая функция исходной задачи формируется как сумма произведений строки… Аналогично ограничение на расход каждого из используемых ресурсов в исходной задаче формируется как сумма произведений…

Теорема двойственности

Пусть дана пара взаимодвойственных задач линейного программирования (4.2) и (4.3). Относительно этих задач имеет место следующая основная (первая) теорема двойственности.

Основная теорема двойственности

Если одна из этой пары взаимодвойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая задача тоже обязательно имеет оптимальное решение. При этом выполняется соотношение

F(x) = Z (u).

Следствие основной теоремы двойственности

c₁x₁*+…+cjxj*+…+cnxn*= b₁u₁*+…+biui*+…+bmum*. Под условиями «дополняющей нежесткости» для задач (4.2) и (4.3) понимаются… u₁(b₁-a₁₁x₁-…-a₁jxj-…-a₁nxn)=0;

Вторая теорема двойственности

Первая группа условий дополняющей нежесткости (4.5) интерпретируется следующим образом. 1а. Если предельная эффективность ресурса под номером i больше нуля, т.е.… ai₁x₁0+…+aijxj0+…+ainxn0=b

Решение двойственной задаче

Составим и найдем решение двойственной задаче к задаче, решенной графическим и симплекс-методом.

Прямая задача:

Найти=(x₁, x₂), чтобы

F(x) =16x₁+14x₂→max, при

0,8x₁+0,5x₂≤400

0,4x₁+0,8x₂≤365

x₁ - x₂≤100

X₂≤350

x₁, x₂ ≥0

Решение прямой задачи:

x₁ =312,5кг; x₂=300кг

F(x) =9200 руб.

При этом первое и втрое ограничение превращается в строгое равенство, а третье и четвертое в строгое неравенство.

Двойственная задача:

Найти=(u₁,u₂,u₃,u₄), чтобы

Z (u) = 400u₁+365u₂+100u₃+350u₄→min

при 0,8u₁+0,4u₂+u₃+0u₄≥16

0,5u₁+0,8u₂-u₃+u₄≥14

u₁ - u₄≥0

 

Относительно рассматриваемого варианта задач соответствующие условия “дополняющей нежесткости” первой и второй группы выглядит следующим образом.

U₁↔(400-0,8x₁-0,5x₂)=0;

U₂↔(365-0,4x₁-0,8x₂)=0; (4.7)

U₃↔(100 - x₁ - x₂)= 0;

U₄↔(350 - x₂)=0.

 

X₁↔ (0,8u₁+0,4u₂+ u₃ -16)=0; (4.8)

X₂↔ (0,5u₁+0,8u₂-u₃+u₄±14)=0;

Из группы условий (4.7), так как 100-312,5+300=87,5>0 и 350-300=50>0 и на основе интерпретации 1б следует, что ограничения по спросу не лимитирующей оптимальную программу, т.е. u₃=u₄=0

Из причин условий (4.8) на основе интерпретации 2а следует, что если оба продукта выпускаются по оптимальной программе, т.е. x*₁=312,5 и x*₂=300, то должны выполняться равенства

0,8u₁+0,4u₂+u₃=16

0,5u₁+0,8u₂-u₃+u₄=14

Из этих уравнений с учетом u₃=u₄=0 перейдем к решению следующей системы

0,8u₁+0,4u₂=16

0,5u₁+0,8u₂=14

Откуда получаем U₁=(16,36) руб. и U₂=(7,27) руб., при этом

Z (u) =400 ·+365·=9200 руб. т. е F (x) = Z (u) =9200 руб.

В соответствие с вышесказанным найденное оптимальное решение позволяет уточнить понятие «теневая цена» это не просто цена, по которой мы будем продавать единицу того или иного ресурса. «Теневая цена» - это величина увеличения максимума целевой функции прямой задачи при изменении (увеличение) количества соответствующего ресурса на единицу, т.е.:

u₁=16,36- величина ожидаемого прироста максимума дохода (9200 руб.) от дополнительного вовлечения в производство 1 кг молока к имеющимся 400кг;

u₂=7,27 руб.- величина ожидаемого прироста максимума дохода (9200 руб.) от дополнительного вовлечения в производство 1кгнаполнителя к имеющимся 365 кг

u₃=u₄=0 руб.- величина ожидаемого прироста дохода за счет увеличения спроса (недефицитные) ресурсы.

В связи с этим «теневые цены» (u) в советской и российской литературе называются предельной эффективностью ресурса.

 

Расчет функции предельной эффективности ресурсов (теневых цен), поступающих на данное предприятие.

При сохранении лимитов по другим ресурсам исследуем зависимость максимума выручки от изменения лимита молока в диапазоне от нуля до бесконечности.…   Рис.4.1

Исследование предельной эффективности с помощью симплекс-метода.

В п. 4.2.2 двойственная задача решена математически и получено следующее оптимальное решение: U1=16,36 руб; U2=7,27 руб; U3=U4=0 Z(u)min=9200 руб.

1,818 312,5

0,909 50

Тогда maxв₁≤min

-55 ≤△в₁≤32,1

Таким образом, ресурс «молоко» может быть уменьшен на 55 кгили увеличен на 32,1 кг. Диапазон изменения равен [ 400-55; 400+32,1]=[345; 432,1]. Верхняя граница полностью совпадает с найденной в п. 2.3, а диапазон устойчивости – сего же значением в п. 4.3 (табл. 4.4)

Составим субоптимальный вариант плана с учетом изменения исходных данных.

Пусть предприятие нашло возможность увеличить запас молока на 10 кг (табл. 4.6).

Базисные переменные	Оптимальное решение	Коэффициенты структурных сдвигов (ас)	Произведение ac =10	Расчет варианта плана
X2 X5 X1 X6	87,5 312,5	-0,9 -2,727 1,818 0,909	-9 -27,27 18,18 9,09	60,23 330,68 59,09
F (X)		U1=16,36	163,6	9363,6

 

В результате производство сливочного мороженого возросло, шоколадного - снизилось, спрос на сливочное и шоколадное мороженое тоже изменился.

Таким образом, анализ устойчивости предельной эффективности позволяет построить множество вариантов оптимальных планов с учетом изменения исходных условий задачи.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1.Авен О.И. Что же такое АСУ? - М.: Наука. 1981.

2.Автоматизация управления. / В.А.Абчук, А.Л.Лифшиц. А.А.Федулов. Э.И.Куштина. /Под редакцией В.А.Абчука. - М.: Ра­дио и связь. 1984.

3.Автоматизированные системы управления машиностроительными предприятиями. /Под редакцией С.У.Олейника. - М.: Высшая шко­ла. 1981.

4.Автоматизированные системы управления предприятиями массо­вого производства. Учебное пособие для студентов машинострои­тельных специальностей вузов. / А.П.Ковалев, П.М.Кацура, А.А.Невелев и др. Под редакцией Б.В.Власова, А.П.Ковалсва. - М.: Высшая школа. 1987.

5.З.Данильченко И.А.. Мясников В.А., Четвериков В.Н. Автоматизи­рованные системы управления предприятиями. Учебник для ин­женерных специальностей вузов. - М.: Машиностроение. 1984.

6.Дудорин В.И. Моделирование в задачах управления производст­вом. - М.: Статистика. 1980.

7.Думлер С.А. Управление производством и кибернетика. - М.: Ма­шиностроение. 1969.

8.3аичкин Н.И. Повышение качества подготовки специалистов на основе внедрения в учебный процесс технических средств обуче­ния. Методические рекомендации. - М.: ГАУ. 1993.

9.3аичкин Н.И. Совершенствование оперативного планирования ос­новного производства. Моделирование работы поточных линий. Учебное пособие. - М.: МНУ. 1989.

10.Ю.Заичкин Н.И.. Юрченко Т.Н. Методические указания к проведе­нию лабораторных работ №№ 1,2,3 по курсу "АСУ в машино­строительной промышленности". - М.: МНУ. 1984.

11. К.Зубенко Ю.Д., Ильин А.А. Оптимизация решений производствен­ных задач (на примере АСУ). - М.: Статистика. 1977.

12.Карданская Н.Л. Основы принятия управленческих решений. Учебное пособие. - М.: Русская Деловая Литература. 1998.

13.Кипи. Ральф Л. Принятие решений при многих критериях: пред­почтения и замещения / Пер. с англ. В.В.Подиновского и др. - М.: Радио и связь. 1981.

14.Ларионов А.И.. Юрченко Т.И. Экономико-математические методы в планировании. Учебное пособие для учащихся сред, учебн. заве­дений. - М.: Высшая школа. 1984.

15.Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения / Отв. редактор Д.М.Гвишиани - М.: Наука. 1987.

16.Ли Т.Г., Адаме Г.Э., Гейнз У.М. Управление процессами с помо­щью вычислительных машин. Моделирование и оптимизация. -Нью-Йорк. 1968. Пер. с англ., под редакцией В.И.Мудрова. - М.: Советское радио. 1972.

17.Лопатников Л.И. Краткий экономико-математический словарь. - М.: Наука. 1979.

18.Лопатников Л.И. Популярный экономико-математический словарь. - М.: Знание. 1979.

19.Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. - М.: Зна­ние. 1987.

20.Мамиконов А.Г. Основы построения АСУ. Учебник для вузов. - М.: Высшая школа. 1981.

21.Мамиконов А.Г. Принятие решений и информация. - М.: Наука.19X3.

22.Мамиконов А.Г. Проектирование АСУ. Учебник для специально­сти "АСУ вузов". - М.: Высшая школа. 1987.

23.Математическая экономика на персональном компьютере: Пер. с яп. /М.Кубонива. М.Табата. С.Табата. Ю.Хасэбэ: Под ред. М.Кубонива: Под ред. с предиел. Е.З.Демидснко. - М.: Финансы и статистика. 1991.

24.Математические модели и методы оптимального планирования. Под редакцией Л.В.Канторовича. - Новосибирск: Наука. 1966.

25.Мельцер М.И. Разработка алгоритмов АСУП. - М.: Статистика.1975.

26.Мескон М.Х., Альберт М., Хедоури Ф. Основы менеджмента: Пер. с англ. - М.: Дело. 1992. 27.Моисеев Н.Н. Математика-управление-экономика. Серия 1970 № 3 Математика кибернетика. - М.: Знание. 1970.

28.Основы автоматизированных систем управления промышленными предприятиями (ЦЭМИ, Проблемы советской экономики). - М.: Наука. 1977.

29.Парамонов Ф.И. Моделирование процессов производства. - М: Машиностроение. 1984.

 

4.3