Рассмотрим жидкость, текущую без пустот и разрывов и при отсутствии источников массы. Выделим в объёме жидкости элементарный параллепипед объёмом dV = dxdydz, рёбра которого ориентированы параллельно осям координат (рис. 5).
Левая грань: площадь грани dS = dydz, составляющая скорости потока вдоль оси х в точках, лежащих на левой грани, - wx , массовый расход жидкости: M=wSρ.
Тогда через эту грань в параллепипед войдёт вдоль оси x за единицу времени масса жидкости ρwxdydz, а за промежуток времени dτ - масса жидкости Мх = ρwxdydzdτ
Рис. 5. К выводу дифференциального уравнения неразрывности потока |
Правая грань: скорость (wx + (wx/x)dx);
плотность (ρ + (ρ/x)dx).
Тогда через правую грань за время dτ выйдет масса жидкости
Мх + dx = [ρwx +((ρwx )/ x)dx] dydzdτ.
Приращение массы жидкости в параллепипеде вдоль оси х
dM x = Mx - Мx+ dx = - ((ρwx )/ x)dxdydzdτ. Аналогично: dM y = - ((ρwy)/ y)dxdydzdτ, dM z = - ((ρwz )/ z)dxdydzdτ
Общее накопление массы жидкости (dM) в параллепипеде за время dτ равно сумме её приращений вдоль всех осей координат:
dM = - ((ρwx )/ x + (ρwy)/ y + (ρwz )/ z) dxdydzdτ (3.8)
Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью объёме параллепипеда возможно только вследствие изменения плотности жидкости в этом объёме, то есть dM = (ρ/τ) dxdydzdτ (3.9).
Приравнивая оба выражения для dM (3.8) и (3.9), сокращая на (- dxdydz) и перенося ρ/τ в левую часть уравнения, получим:
ρ/τ + (ρwx )/ x + (ρwy)/ y + (ρwz )/ z = 0 (3.10) –
это дифференциальные уравнения неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости. В установившемся потоке плотность не изменяется во времени, т. е. ρ/τ = 0 и уравнение (3.10) принимает вид:
δ(ρwx )/δx + δ(ρwy)/δy + δ(ρwz )/δz = 0 (3.11).
Для капельных жидкостей ρ = const, поэтому
ρ(wx /x + wy/y + wz /z) = 0 (3.12),
ρ≠0, поэтому wx /x + wy/y + wz /z = 0 (3.13) - дифференциальное уравнение неразрывности потока несжимаемой жидкости.
Чтобы перейти ко всему объёму жидкости, проинтегрируем уравнение (3.11), принимая, что площадь сечения трубопровода переменна. Получаем ρwS = const (3.14)- это уравнение неразрывности (сплошности) потока в интегральноц форме для установившегося движения. Для 3-х различных сечений трубопровода уравнение сплошности принимает вид: ρ1w1S1 = ρ2w2S2 = ρ3w3S3 , М1 = М2 = М3, т. е. при установившемся потоке, полностью заполняющем трубопровод, через каждое поперечное сечение проходит в единицу времени одна и та же масса жидкости. Поэтому уравнение (3.14) называют также уравнением постоянства расхода и оно является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока. Для несжимаемых жидкостей ρ = const, поэтому уравнение (3.14) принимает вид: wS = const (3.15).