Дифференциальные уравнения движения Эйлера

Выведем дифференциальные уравнения движения Эйлера для установившегося во времени потока идеальной жидкости,

Движение жидкости является установившимся или стационарным, если скорость частиц потока, а также все другие влияющие на его движение факторы (плотность, температура, давление) не изменяются во времени в каждой фиксированной точке пространства, через которую проходит жидкость.

Выделим внутри потока жидкости элементарный параллепипед объёмом dV = dxdydz, рёбра которого ориентированы параллельно осям координат.

Используем принцип динамики: сумма проекций на оси координат всех сил, действующих на движущийся элементарный объём, равна произведению массы жидкости на ускорение её движения

Если к каждому материальному телу прикладывать силу, то происходит движение тела, и движущая сила F равна: F=ma, dF= a·dm

Если жидкость движется в пространстве в произвольном направлении, то скорость её движения – w. Разложим w на проекции x, y, z (w_x, w_y, w_z). Соответственно, dF: dF_x, dF_y, dF_z

Производная от w_x есть ускорение относительно оси x: a_x=d w_x/dτ;

соответственно, a_y=d w_y/dτ; a_z=d w_z/dτ; тогда:

dF_x=dm·(d w_x/dτ), dF_y=dm·(d w_y/dτ), dF_z=dm·(d w_y/dτ).

Так как dm = ρdV= ρ· dxdydz, то

dF_x= ρ· dxdydz ·(d w_x/dτ), dF_y= ρ· dxdydz ·(d w_y/dτ), dF_z= ρ· dxdydz ·(d w_z/dτ).

Сумму проекций на оси координат всех сил, действующих на элементарный объём внутри жидкости мы нашли при выводе дифференциальных уравнений равновесия Эйлера. В случае движущегося элементарного объёма, согласно принципу динамики, эта сумма проекций сил равна действующей силе dF, значит, можно записать систему уравнений: - (р/х)· dxdydz = ρ· dxdydz ·(d w_x/dτ),

- (р/у) · dxdydz = ρ· dxdydz ·(d w_y/dτ) ,

( -ρg - (р/z)) · dxdydz = ρ· dxdydz ·(d w_z/dτ).

Разделим правые и левые части уравнений системы на dxdydz, получим одну из форм записи дифференциальных уравнений движения Эйлера:

- р/х = ρ ·(d w_x/dτ), (умножим на dx)

- р/у = ρ ·(d w_y/dτ) , (умножим на dy)

-ρg - (р/z) = ρ ·(d w_z/dτ) (умножим на dz)

 

-(р/х)·dx = ρ ·(d w_x/dτ)·dx,

- (р/у)·dy = ρ ·(d w_y/dτ)·dy

-(ρg + (р/z))·dz = ρ ·(d w_z/dτ)·dz

-(р/х)·dx = ρ ·(dx /dτ)· d w_x,

- (р/у)·dy = ρ ·(dy /dτ)· d w_y

-(ρg + (р/z))·dz = ρ ·(dz /dτ)· d w_z

Так как производная координаты по времени есть скорость, то:

-(р/х)·dx = ρ · w_x d w_x,

- (р/у)·dy = ρ · w_y d w_y

-(ρg + (р/z))·dz = ρ · w_zd w_z

-(р/х)·dx = ρ · d( w_x²/2),

- (р/у)·dy = ρ · d( w_y²/2)

-(ρg + (р/z))·dz = ρ ·d( w_z²/2),

получили ещё одну форму записи дифференциальных уравнений движения Эйлера.